Отличная квантовая механика

где амплитудные множители связаны друг с другом соотношениями, выведенными нами в предыдущем упражнении. Уравнения (Р3.51–Р3.54) применимы к нашему случаю без изменений, как и (Р3.55) для A-волны. Для F-волны имеем (считая приближенно, что F не зависит от κ)

Центр гауссового волнового пакета в данном уравнении находится в точке Вследствие того, что его множитель равен θ(x — L), он выйдет из барьера тогда, когда координата его центра превысит L, т. е. в тот же момент когда центр A-волны войдет в барьер в точке x = 0.

Решение для упражнения 3.54. Ход решения аналогичен упр. 3.52. Мы ищем комбинацию волновых функций, показанных на рис. 3.6, за исключением того, что в области барьера волновые функции являются волнами де Бройля и где Условия непрерывности на двух границах принимают вид

где Приравняем G к нулю и выразим амплитуды падающей и отраженной волн через амплитуду пропущенной волны:

Тогда коэффициенты пропускания и отражения даются уравнениями (3.82).

Решение для упражнения 3.55. Уравнение (3.82a) можно переписать как

Пропускаемость равна единице, когда обнуляется второй член в квадратных скобках в этом уравнении. Такое может произойти, либо когда (т. е. k₁ = k₀), либо когда sin(k₁L) = 0 (т. е. k₁L = mπ).

Решение для упражнения 3.56. Взяв производную по времени от обеих частей уравнения (3.84a) и подставив из (3.84b), получим:

Решением этого дифференциального уравнения является

x(t) = Acosωt + Bsinωt, (Р3.63)

где а A и B — постоянные, определяемые из начальных условий. Подстановка t = 0 в (3.56) дает A = x(0). Взяв производные по времени от обеих частей этого уравнения, получаем:

Подстановка t = 0 в это уравнение дает Подставив A и B в уравнения (Р3.63) и (Р3.64) и вспомнив вновь, что получаем уравнения (3.85).

Решение для упражнения 3.57. Подставляя x = X/A, p = P/B в (3.85), получаем:

Чтобы эти уравнения имели вид (3.86), должно выполняться

При этом коммутатор перемасштабированных наблюдаемых удовлетворяет Поскольку нам нужно, чтобы этот коммутатор равнялся i, получаем второе уравнение:

Решив эти два уравнения для A и B, находим, что

Так как ℏ имеет ту же размерность, что и произведение координаты и импульса, т. е. кг·м²/с, размерность A равна м^–1 (т. е. такая же, как у x^–1), а размерность B — с/(кг·м) (т. е. такая же как у p^–1).

Решение для упражнения 3.58

a) Пользуясь той же логикой, которой мы следовали в разд. 3.2, получаем:

b) Для волны де Бройля имеет место равенство

d) Воспользовавшись разложением единичного оператора, а также результатом пункта b), находим

и

e) Применяя соотношения из пункта d), мы продолжаем действовать так же, как в упр. 3.20:

Выражение для оператора координаты в импульсном базисе получается аналогично.

f) Из (3.88) находим:

Теперь, используя принцип неопределенности (3.50) для немасштабированных координаты и импульса, мы видим, что правая сторона приведенного уравнения больше или равна 1/4.

Решение для упражнения 3.59

Решение для упражнения 3.60

a) Так как операторы координаты и импульса эрмитовы, и Поэтому

b) Из пункта a) следует, что â ≠ â_†.

c) Поскольку

d) Операторы координаты и импульса выражаются через â и â_† путем решения уравнений (3.97) и (3.98).

e) Воспользуемся (A.44b):

[â,â^†â] = â^†[â,â] + [â,â^†]â = â;

[â_†,â_†â] = â_†[â_†,â] + [â_†,â_†]â = — â_†;

Решение для упражнения 3.61

a) Чтобы проверить, является ли â|n⟩ собственным состоянием оператора числа квантов подвергнем данное состояние действию этого оператора и применим результат (3.101), переписанный в виде

что и требовалось.

b) Аналогично из (3.101) находим, что и, таким образом,

Решение для упражнения 3.62

a) Пусть |ψ⟩ = â|n⟩. Из предыдущего упражнения мы знаем, что |ψ⟩ есть собственное состояние â_†â с собственным значением n — 1, т. е. |ψ⟩ = A|n — 1⟩, где A — некоторая константа. Нам нужно найти A. Для этого заметим, что ⟨ψ| = ⟨n|â_†, и вычислим

⟨ψ|ψ⟩ = ⟨n|â^†â|n⟩ = n.

В то же время

⟨ψ|ψ⟩ = |A|²⟨n—1 |n—1⟩ = |A|²,

где в последнем равенстве мы пользуемся тем, что собственные состояния оператора числа квантов нормированны. Из этих двух уравнений находим, что

b) Аналогично если |ϕ⟩ = â_†|n⟩ = B|n+1⟩, то, с одной стороны,

⟨ϕ|ϕ⟩ = ⟨n|ââ^†|n⟩ = ⟨n|â^†â+1 |n⟩ = n+1

а с другой,

⟨ϕ|ϕ⟩ = |B|²⟨n+1 |n+1⟩ = |B|².

Следовательно,

Решение для упражнения 3.63

Решение для упражнения 3.64. Вакуумное состояние подчиняется уравнению â|0⟩ = 0, или

Чтобы найти волновую функцию в координатном базисе, воспользуемся записью (3.94) оператора импульса в этом базисе. (Р3.68) тогда становится

Это обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка, имеющее одно решение:

где A — постоянная нормирования, вычисленная обычным путем: