Отличная квантовая механика

Решение для упражнения 3.38. Как говорилось в упр. 3.33, энергии E ниже постоянного уровня потенциала V₀ связаны с собственными волновыми функциями ψ(x) = Ae^±κx, где Из-за условий нормирования у волновых функций не может быть компонентов, экспоненциально возрастающих на бесконечности, поэтому должно выполняться соотношение

Иными словами, ψ(x) → 0 при |x| → ±∞, так что имеет место связанное состояние.

Напротив, когда энергия превышает потенциал на бесконечности, то собственные волновые функции стремятся к ψ(x → Ae^ikx + A'e^-ikx при Если по крайней мере один из множителей A или A′ не исчезает, то состояние не связанно.

Решение для упражнения 3.39. Запишем обобщенное решение стационарного уравнения Шрёдингера в этом потенциале с использованием результата упр. 3.33:

Мы можем сразу же исключить слагаемые B₂e^-κx и B₃e^κx, которые экспоненциально растут при x → ±∞ и потому нефизичны.

Далее, поскольку потенциал есть четная функция от x, достаточно (как мы выяснили в упр. 3.37) искать четные и нечетные решения стационарного уравнения Шрёдингера. Рассмотрим два эти случая по отдельности.

Запишем общее нечетное решение как

с действительными A и B и

Поскольку потенциал конечен, то как волновая функция ψ(x), так и ее производная ψ′(x) должны быть непрерывны. Записав эти условия для границы ямы x = a/2, находим

A sin kx|^x₌^a/₂ = Be_-κx|_{x =} ^a_/2;

Ak cos kx|^x₌^a_/2 = — κBe^-κx|^x ₌ ^a/₂

или

Условие непрерывности для x = —a/2 дает тот же набор уравнений.

Эти уравнения ограничивают множество значений энергии, при которых стационарное уравнение Шрёдингера имеет решение. Чтобы убедиться в этом, разделим уравнения (Р3.18) и (Р3.19) друг на друга. Получаем

Данное уравнение устанавливает связь между k и κ. Еще одно соотношение между этими величинами следует из уравнений (Р3.17), которые можно включить в наши вычисления следующим образом. Обозначим ka/2 = θ и κa/2 = θ₁. Тогда из упомянутых уравнений мы можем получить:

Последнее уравнение содержит только одну неизвестную переменную, θ, связанную с собственным значением энергии. К сожалению, оно трансцендентно и не может быть решено в элементарных функциях.

Общее четное решение задается выражением

По аналогии с нечетным решением находим условия непрерывности на границах ямы

и трансцендентное уравнение для θ

Построив левые и правые части трансцендентных уравнений (Р3.23) и (Р3.27) как функций от θ, получим графическое решение, показанное на рис. Р3.1. Соответствующие энергии и примеры волновых функций изображены на рис. 3.2.

Остается ответить на вопрос о зависимости числа связанных состояний от V₀. Как видно из рис. Р3.1, существует N решений для обоих трансцендентных уравнений при (N — 1)π/2 < θ₀ < Nπ/2. Это соответствует неравенству

Решение для упражнения 3.40. Если V₀ бесконечна, то бесконечны и правые части уравнений (Р3.23) и (Р3.27). Тангенс в уравнении (Р3.27) принимает положительное бесконечное значение при θ = (2j +1)π/2, а отрицательный котангенс в уравнении (Р3.23) — при θ = πj, где j — произвольное натуральное число. То есть общее решение в пределе V₀ → ∞ можно записать как θ = nπ/2, где n — произвольное натуральное число: четное n = 2j дает нечетное решение, а нечетное n = 2j +1 — четное. Применяя θ = ka/2, находим значения волнового числа k_n = nπ/a, которые соответствуют собственным значениям энергии

Подставляя этот результат в уравнения (Р3.18) и (Р3.25), определяем, что колеблющиеся части волновых функций внутри ямы

обнуляются при x = ±a/2. Из этого следует, что B = 0 как для четного, так и для нечетного случаев и что волновая функция вне ямы обнуляется.

Теперь мы можем найти постоянную нормирования A. Для этого проинтегрируем квадрат абсолютной величины волновой функции по действительной оси. Находим и для четных, и для нечетных решений

Решение для упражнения 3.41. Поскольку потенциал есть четная функция от x, мы можем ограничиться четными и нечетными волновыми функциями. При x ≠ 0 потенциал равен нулю. Тогда энергия связанного состояния должна быть отрицательна, а общее нечетное решение иметь вид

при Эта функция не имеет разрыва в точке x = 0, только если B = 0 (т. е. ψ(x) ≡ 0); следовательно, такая функция нефизична.

Четное решение задается формулой

(Р3.30) верно для произвольного κ при всех значениях x, кроме нулевого. При x = 0 его производная имеет разрыв:

Здесь нет противоречия с условием непрерывности волновой функции (упр. 3.35), потому что потенциал сингулярен при x = 0. Однако, как мы увидим далее, амплитуда потенциала налагает на разрыв производной волновых функций условие, которое выполняется только для определенных значений κ.

Проинтегрируем обе стороны стационарного уравнения Шрёдингера (3.60) по бесконечно малому интервалу вокруг x = 0:

Воспользовавшись формулой Ньютона — Лейбница, а также уравнением (Г.9), находим

Подставив в эту формулу ψ(0) = B, а также уравнение (Р3.31), видим, что κ = W₀M/ℏ² и таким образом