Отличная квантовая механика

Теперь найдем коэффициент нормирования. Поскольку яма бесконечно узкая, нам достаточно принять во внимание только ту часть волновой функции, которая расположена вне ее. Из системы уравнений (Р3.30) получаем

Решение для упражнения 3.42. Поскольку V₀a = W₀, мы можем переписать (Р3.21) как

Так как a стремится к нулю, а W₀ постоянно, θ₀ тоже стремится к нулю. Сплошные кривые на рис. Р3.1 сжимаются в вертикальную линию рядом с вертикальной осью. Поэтому имеет место только одно, четное, энергетическое собственное состояние, и мы переписываем (Р3.27) с учетом того факта, что tg θ ≈ θ для малых θ:

Разложим последнее решение в ряд Тейлора по малому параметру до второй степени (причина, по которой это необходимо, вскоре станет ясна): Тогда два корня уравнения (Р3.37) можно переписать как

Поскольку мы ищем связанное решение, то θ должно быть действительно, поэтому выбираем первый корень. А так как и имеем

Теперь видно, что разложение в ряд Тейлора второго порядка было необходимо нам для того, чтобы получить критически важный второй член в этом уравнении.

Далее, в соответствии с уравнением (Р3.17b) имеет место равенство

Как мы видим, этот коэффициент не зависит от a в пределе a → 0, если V₀a = W₀ остается постоянным, и согласуется с тем, что мы нашли в предыдущем упражнении.

Решение для упражнения 3.43. Частица изначально приготовлена в связанном состоянии исходного потенциала (см. упр. 3.41):

при κ₀ = W₀M/ℏ². После внезапного изменения потенциала связанное состояние задается другой волновой функцией:

где κ₁ = 2W₀M/ℏ². Вероятность того, что частица останется в связанном состоянии нового потенциала, задается, согласно постулату об измерениях, квадратом скалярного произведения

Решение для упражнения 3.44. Следуем логике решения упр. 3.41. Потенциал за пределами ям равен нулю, так что общие нечетные и четные волновые функции в этих областях будут иметь вид

соответственно, где (нижние индексы e и o означают «четный» и «нечетный»), а A и B оба действительны и положительны (рис. 3.2). В отличие от случая с единственной потенциальной ямой, мы не можем исключить нечетное решение a priori.

Рассмотрим четное решение подробно. Условие непрерывности при x = ±a дает или Тогда разрыв производной в этой точке

Уравнение (Р3.33) для нашего случая принимает вид

так что, используя находим:

где есть коэффициент снижения волновой функции в случае единичного дельта-потенциала (обозначаемый κ в упр. 3.41). Мы видим, что в пределе при a → ∞ это решение стремится к таковому для единичной потенциальной ямы.

Для конечного расстояния между ямами (Р3.44) трансцендентально. Найдем приблизительное решение для случая κ₀a ≫ 1. Запишем κ_e = κ₀(1 + δ). Тогда (Р3.44) принимает вид

откуда получаем, что а значит, 2δκ₀a ≪ 1. Поэтому мы можем записать в первом порядке так что и

Соответствующая энергия равна

Рассуждения для нечетного случая аналогичны, но в этом случае сдвиг энергии противоположен:

Решение для упражнения 3.45. Пусть ψ _ед (x) — волновая функция (3.71), соответствующая единичной потенциальной яме в виде дельта-функции. Тогда для κ₀a ≫ 1 нечетное (Р3.41) и четное (Р3.42) решения задачи с двойной ямой могут быть аппроксимированы как

(множитель возникает из-за нормирования). Теперь выразим локализованные состояния через энергетические собственные состояния следующим образом:

Эти состояния взаимно ортогональны с хорошим приближением.

Волновая функция начального состояния ψ(x, 0) = ψ_ед(x — a). Зная энергии E_e,o = E₀ ∓ Δ четного и нечетного состояний, где

как найдено в упр. 3.44, мы записываем эволюцию в виде:

Отсюда вероятность найти систему в состоянии с волновой функцией ψ_ед(x + a) равна

Решение для упражнения 3.46. Предположим, что существует два связанных состояния |ψ₁⟩ и |ψ₂⟩, соответствующие одной и той же энергии E. Стационарные уравнения Шрёдингера (3.60) для этих состояний имеют вид

Умножим левую часть первого уравнения на правую часть второго, и наоборот. Во всех точках, где V(x) — E ≠ 0, имеет место равенство

Последнее уравнение можно переписать как

из чего мы делаем вывод, что

Константа в правой части данного уравнения должна быть равна нулю, поскольку известно, что состояние связанное, т. е. при x → ±∞ и волновые функции, и их производные обращаются в нуль. Разделив обе части этого равенства на получаем

так что обе волновые функции пропорциональны друг другу.

Следует признать, что изложенное доказательство не применимо к точкам, в которых ψ₂(x) = 0 или V(x) = E. Предлагаю читателю проработать эти случаи самостоятельно.

Решение для упражнения 3.49. Поскольку фазовая скорость волны де Бройля с импульсом p и волновым числом k равна 𝑣_ph = p/2M = ℏk/2M, то у нас получатся следующие токи плотности вероятности:

Соответственно, коэффициент отражения равен

коэффициент пропускания равен

а их сумма равна единице.