Отличная квантовая механика

где волновая функция в импульсном базисе — это Фурье-образ волновой функции ψ(x) в координатном базисе. Поскольку последняя действительна, [упр. Г.5, b)] и, таким образом, pr(p) = pr(—p).

Матожидание импульса, задаваемое формулой

пропадает, потому что p pr(p) — нечетная функция.

Решение для упражнения 3.17. Воспользовавшись определением (3.25) волны де Бройля, находим:

Решение для упражнения 3.18.

a) Поскольку потенциал — это функция координаты, имеет место равенство

В последнем из приведенных выше уравнений мы воспользовались тождеством (Г.5) с a = x и 𝑓(y) = V(y)δ(y — x′). Это немного нестрого, поскольку (Г.5) предполагает гладкую функцию 𝑓(·). Чтобы сделать эти рассуждения строгими, мы могли бы, к примеру, заменить δ(y — x′) гауссовой функцией G_b(y — x′) [см. выражение (Г.1)] и взять предел b → 0.

b) Воспользовавшись уравнением (Р3.2), а также определением (3.25) волны де Бройля, находим

что эквивалентно уравнению (3.41).

Решение для упражнения 3.19. Записав оператор импульса как находим

Чтобы вычислить этот интеграл, выразим Отсюда

Решение для упражнения 3.20. Вставив единичный оператор после импульса и воспользовавшись результатом упр. 3.19, находим

Решение для упражнения 3.22. Применяя результаты упр. 3.19 и 3.20, получим

Решение для упражнения 3.23

a) Поскольку

b) Обозначим тогда волновая функция этого состояния будет равна: Поэтому

Обратите внимание, что данное соотношение возможно найти также при помощи разложения единичного оператора. Читатель может попробовать сделать это самостоятельно.

c) Воспользовавшись двумя предыдущими результатами, находим:

Следовательно, применение оператора к любому вектору |ψ⟩ эквивалентно умножению этого вектора на iℏ. Делаем вывод о том, что

Решение для упражнения 3.24. Записав принцип неопределенности (1.21) для любого нормированного состояния |ψ⟩, находим

Решение для упражнения 3.25

a) Плотность вероятности, соответствующая волновой функции (3.51), — это

что идентично плотности вероятности гауссовой функции (Б.15), нормирование которой мы проверяли в упр. Б.18.

b) Чтобы снизить количество вычислений, преобразуем сперва из координатного базиса в базис волнового числа (вместо импульсного). Применим прямое преобразование Фурье согласно (3.38).

Теперь мы можем переписать результат в импульсном базисе с использованием (3.39):

c) В координатном базисе плотность вероятности

есть гауссова кривая шириной d, симметричная относительно x = a. Воспользовавшись результатами упр. Б.18, находим, что ⟨x⟩ = a и ⟨Δx²⟩ = d²/2.

Для импульсного базиса Следовательно, ⟨p⟩ = p₀ и ⟨Δp²⟩ = ℏ²/2d ². Произведение неопределенностей равно:

что соответствует минимуму, разрешенному принципом неопределенности.

Решение для упражнения 3.27

a) Волновую функцию в импульсном представлении (для удобства мы используем физически идентичное ему представление в базисе волнового числа) можно найти с использованием стандартной формулы конвертации (3.38). Преобразование Фурье необходимо применить и к x_A, и к x_B.

b) Волновая функция Ψ(x_A, x_B) = δ(x_A — x_B) системы в координатном базисе подразумевает, что координаты частиц Алисы и Боба должны быть одинаковыми. Если Алиса обнаружит свою частицу в точке x₀, то частица Боба будет удаленно приготовлена в состоянии с той же координатой, т. е. |x₀⟩.

c) Точно так же, поскольку получение Алисой волнового числа k₀ (или импульса p₀ = ℏk₀) спроецирует состояние Боба на |—k₀⟩ (или |—p₀⟩).

Решение для упражнения 3.28. В отсутствии потенциала гамильтониан является функцией импульса: Поэтому собственное состояние |p⟩ импульса автоматически представляет собой энергетическое собственное состояние с собственным значением E = p²/2M. Согласно общему решению (1.29) уравнения Шрёдингера, это состояние эволюционирует следующим образом:

Предполагая, что волновая функция собственного состояния импульса в момент времени t = 0 задается волной де Бройля (3.25), его эволюция может быть записана в координатном базисе как

Решение для упражнения 3.29

a) Мы нашли разложение начального волнового пакета в базисе волнового числа в упр. 3.25 [см. (Р3.4)]. Перепишем его так:

где мы определили κ = k — k₀. Поскольку каждое собственное состояние оператора волнового числа является также собственным состоянием гамильтониана с собственным значением ℏ₂(k₀ + κ)₂/2M, имеет место равенство для эволюции состояния |ψ⟩:

б) Перепишем это равенство как

Теперь снова перепишем этот результат в координатном базисе. Получаем