Отличная квантовая механика

Ĥ = 0|HH⟩⟨HH| + 0|HV⟩⟨HV | + 0|VH⟩⟨VH| + ℏω|VV⟩⟨VV |,

оператор эволюции равен:

Для ωt = π получаем:

что соответствует вентилю C-Phase.

Решение для упражнения 2.64. В применении к системе и прибору одновременно C-NOT, или управляемое «НЕ» (Р2.31), принимает вид:

Этот оператор преобразует систему в состоянии, таком как (2.32), и прибор в состоянии |ω₁⟩ в

в соответствии с выражением фон Неймана (2.33).

Решение для упражнения 2.65. Применяя вентиль C-NOT (Р2.31) к разделимому состоянию получаем состояние которое, как мы знаем из упр. 2.6, запутанно.

То, что вентиль C-Phase тоже может создавать запутанность, следует из того факта, что он может быть выражен как произведение локальных унитарных операторов (вентилей Адамара) и вентиля C-NOT. Как нам известно из упр. 2.22, локальный унитарный оператор не может изменить свойство запутанности состояния. Следовательно, если вентиль C-NOT создает запутанность, то вентиль C-Phase тоже это делает.

Вот конкретный пример: применив вентиль C-Phase (Р2.32) к разделимому состоянию мы получим Это состояние запутанно, потому что оно получено из состояния Белла посредством операции Адамара над вторым фотоном.

Решение для упражнения 2.66. Подвергнув состояния Белла действию вентиля C-NOT, получим

Теперь, измеряя первый фотон в диагональном базисе, а второй — в каноническом, мы можем различить все четыре состояния.

Решение для упражнения 2.67

Это выражение имеет такой же вид, как и уравнение (2.15). Измерение Алисы случайным образом выберет одно из четырех слагаемых в приведенном выражении и приготовит в локации Боба соответствующее состояние. Поскольку норма каждого из слагаемых равна 1/2, вероятность каждого результата равна (1/2)² = 1/4.

e)

• Если Алиса получает при измерении |Ψ^—⟩, фотон Боба проецируется на — (α|H⟩ + β|V⟩), что, с точностью до общего фазового множителя, идентично исходному состоянию |𝝌⟩. В этом случае Бобу не нужно ничего делать.

• Если Алиса получает при измерении |Ψ⁺⟩, фотон Боба проецируется на — (α|H⟩ — β|V⟩). Чтобы получить |𝝌⟩, Бобу надо будет произвести операцию, которая не меняет горизонтально поляризованный фотон, но применяет фазовый множитель (–1) к вертикально поляризованному. Эта операция реализуется оператором Паули и физически осуществляется при помощи полуволновой пластинки с оптической осью, ориентированной горизонтально или вертикально (упр. 1.26).

• Если Алиса получает при измерении |Φ^—⟩, фотон Боба проецируется на (β|H⟩ + α|V⟩). В этом случае Бобу потребуется поменять горизонтальную поляризацию на вертикальную, и наоборот, что реализуется оператором Паули Физически это соответствует применению полуволновой пластинки под углом 45°.

• Если Алиса получает при измерении |Φ⁺⟩, фотон Боба проецируется на (—β|H⟩ + α|V⟩). В этом случае Бобу нужно и обменять поляризации, и сдвинуть фазу одной из них, т. е. применить посредством двух полуволновых пластинок, одна из которых ориентирована под 45°, а другая под 0°. Обратите внимание, что мы можем записать этот оператор как

Решение для упражнения 2.68. Сначала отметим, что если входной сигнал находится в состояниях |Ψ⁺⟩ или |Ψ^—⟩, то два входных фотона поляризованы ортогонально. Если один из них пройдет через первый поляризующий светоделитель, то второй отразится, так что оба они выйдут из PBS с одной и той же стороны. Это означает, что события обнаружения фотонов не могут произойти в обоих серых прямоугольниках одновременно.

Однако, если входной сигнал находится в состояниях |Φ^—⟩ или |Φ⁺⟩, образующие эти состояния идентичные фотоны либо оба пройдут через PBS, либо оба отразятся, так что они покинут PBS с разных сторон. Эти два состояния поляризации после первого PBS останутся неизменными[145].

Далее, состояния |Φ^—⟩ или |Φ⁺⟩ можно переписать в диагональном базисе. В соответствии с упр. 2.8 |Φ⁺⟩ состоит из одинаково поляризованных диагональных фотонов, а |Φ^—⟩ — из ортогональных диагональных фотонов. Следовательно, измерение данных фотонов в диагональном базисе позволит различить эти состояния.

Решение для упражнения 2.69. Действуя таким же образом, как и в случае квантовой телепортации, находим

Обнаружение фотонов 2 и 3 в конкретном состоянии Белла запутает оставшиеся два фотона, спроецировав их на одно и то же состояние Белла. Как и в случае квантовой телепортации, вероятность каждого результата измерения равна 1/4.

Решение для упражнения 2.70. Воспользовавшись результатом упр. 2.69, находим, что когда начальные состояния |Ψ^—Ψ^—⟩₁₂₃₄ проецируются на обнаруженные состояния |Φ⁺⟩₂₃ и |Φ^—⟩₂₃ в первом и втором звеньях, состояния сохраненных фотонов становятся |Φ⁺⟩₁₄ и |Φ^—⟩₁₄ соответственно. Переобозначив эти фотоны буквами от A до D, находим, что их общее состояние равно

Проецируя это состояние на |Ψ⁺⟩ _BC, получаем |Ψ^—⟩ _AD.

Решение для упражнения 2.71