Отличная квантовая механика

⟨П|ψ_Алиса⟩ = (2⟨H| − i⟨V|)_Алиса ⊗ (2 |H⟩ + i|V⟩)_Алиса(−i⟨H| − ⟨V|)_Боб = [(2⟨H| − i⟨V|)(2 |H⟩ + i|V⟩)]_Алиса(−i⟨H| − ⟨V|)_Боб = 5(−i⟨H| − ⟨V|)_Боб

Преобразуя кет в бра, не забывайте о комплексном сопряжении.

Решение для упражнения 2.32. Разложим |a⟩ и |b⟩ по соответствующим базисам:

Тогда Применив определение (2.17a) частичного скалярного произведения, получим

Решение для упражнения 2.33. Пусть Тогда, согласно определению (2.17a),

где последнее уравнение получается из определения скалярного произведения в составном пространстве.

Решение для упражнения 2.34. Используем λ_ij = ⟨𝑣_iω_j|Ψ⟩ и а также разложение тождества (подразд. A.6.3), чтобы преобразовать левую сторону уравнения (2.21). Говоря конкретнее, мы вставляем два оператора тождества, и

Решение для упражнения 2.35

a) Взяв частичное скалярное произведение обеих сторон уравнения (2.15) и произвольного элемента ⟨𝑣_j| из базиса измерения Алисы, находим

b) Это следует из предыдущего результата и того факта, что |b_j⟩ нормирован.

Решение для упражнения 2.36. Поскольку находим:

Это суть (ненормированные) состояния, в которых измерение Алисы приготавливает фотон Боба. Вероятности их равны квадратам норм этих состояний:

Решение для упражнения 2.37. Проведем доказательство для состояния Белла |Φ⁺⟩. Пусть первый элемент ортонормального базиса Алисы задан выражением |𝑣₁⟩ = a |H⟩ + b |V⟩, где a и b — произвольные комплексные числа, такие что |a|² + |b|² = 1. Тогда

Тогда вероятность наблюдения второго элемента базиса Алисы должна равняться Рассуждения для других состояний Белла аналогичны.

Решение для упражнения 2.39. По аналогии с упр. 2.9 отметим, что состояние |Ψ^—⟩ может быть выражено как

где состояния и |Ṽ⟩—β^*|H⟩+α^*|V⟩ образуют ортонормальный базис, а — состояние, которое Алиса хочет приготовить в локации Боба. Из уравнения (Р2.16) мы видим, что Алисе следует проводить измерения в базисе Удаленное приготовление состояния происходит, если Алиса обнаруживает |Ṽ⟩, что случается с вероятностью 1/2, в соответствии с упр. 2.37.

Решение для упражнения 2.40. Как мы знаем из упр. 2.27, Алиса при измерении в базисе увидит каждый из возможных результатов с вероятностью

Предположим, что Алиса наблюдает |θ⟩. Тогда состояние Боба проецируется на При условии этого события Боб, измеряющий в каноническом базисе, получит следующие вероятности:

Аналогично этому, если Алиса наблюдает Боб получает |θ⟩, а значит, условные вероятности таковы:

Чтобы найти общую вероятность того, что Боб будет наблюдать |H⟩, мы должны воспользоваться правилом (Б.6) для условных вероятностей:

Таким же образом находим

pr_{Боб видит |}V_⟩ = 1/2.

Решение для упражнения 2.41. Для первого сценария результат непосредственно следует из первоначального постулата об измерениях. Проанализируем второй сценарий. В отличие от предыдущего решения мы не станем использовать условные вероятности, а будем рассуждать в терминах ненормированных состояний, которые включают в себя вероятности в качестве своей нормы. Это отличие всего лишь в способе записи, физика здесь та же.

Измерение Алисы даст ненормированное состояние

где i случайно. Если теперь Боб выполняет измерение над своей частью состояния, вероятность того, что он увидит |ω_j⟩, равна

Как мы выяснили в упр. 2.33, ⟨ω_j|(⟨𝑣_i|Ψ⟩) = ⟨𝑣_iω_j|Ψ⟩. Соответственно,

а это эквивалентно тому, что мы получили в первом сценарии. Эквивалентность третьего сценария первому доказывается так же.

Решение для упражнения 2.42

Воспользовавшись правилом для условных вероятностей, получаем

Решение для упражнения 2.43. Чтобы найти общую вероятность того, что Боб обнаружит |ω_j⟩, мы должны просуммировать по всем возможным результатам измерения Алисы

а это эквивалентно вероятности, с которой такой результат будет иметь Боб, если произведет измерение до Алисы. Очевидно эта вероятность не зависит ни от последовательности, в которой Алиса и Боб проводят свои измерения, ни от того, какой базис {|𝑣_i⟩ } выберет Алиса.