Отличная квантовая механика

Сравнивая последние два уравнения, получаем требуемое тождество.

Решение для упражнения 2.21

a) Если операторы Â в 𝕍_A и в 𝕍_B эрмитовы, их матрицы удовлетворяют и Тогда в соответствии с результатом упр. 2.13:

При перестановке и транспонировании матрицы получается та же матрица, а это признак эрмитова оператора (упр. A.53).

b) Если оператор Â в 𝕍_A унитарен, он отображает ортонормальный базис {|𝑣_i⟩} на другой ортонормальный базис {|𝑣′_i⟩} (см. упр. A.81). Подобным образом унитарный оператор в 𝕍_B преобразует ортонормальные базисы {|ω_i⟩} и {|ω′_i⟩} друг на друга. Тензорное произведение Â и отображает друг на друга {|𝑣_i ω_j⟩} и {|𝑣′_iω′_j⟩}, которые тоже являются ортонормальными базисами. Оператор, обладающий таким свойством, должен быть унитарным.

Решение для упражнения 2.22. Локальный оператор — частный случай тензорного произведения операторов, который, согласно упр. 2.17, не может преобразовывать разделимое состояние в запутанное.

Обратная операция также невозможна, потому что любой унитарный оператор обратим. Если бы существовал унитарный оператор, реализующий такое преобразование, то оператор, обратный к нему, превращал бы разделимое состояние в запутанное, а это невозможно.

Решение для упражнения 2.23

Решение для упражнения 2.24

b) Поскольку Â и эрмитовы, они имеют спектральные разложения и где {|𝑣_i⟩} и {|ω_j⟩} суть ортонормальные базисы в пространствах Алисы и Боба соответственно. Следовательно,

где {|𝑣_i ω_j⟩} — ортонормальный базис в 𝕍 ⊗ 𝕎. Поскольку |Ψ⟩ представляет собой собственное состояние с собственным значением x, это означает в соответствии с упр. A.66, что его можно записать в виде линейной комбинации только тех элементов базиса {|𝑣_i ω_j⟩}, для которых

А это значит, что состояние |Ψ⟩, если его измерить в базисе {|𝑣_i⟩ ⊗ |ω_j⟩}, спроецируется на один из этих базисных элементов. Измерение Â Алисой и Бобом вместе образуют совместное измерение |Ψ⟩ в базисе {|𝑣_i ω_j⟩}. Данное измерение, таким образом, даст пару векторов |𝑣_i⟩ ⊗ |ω_j⟩, для которых выполняется (Р2.11). Но также имеет место равенство

где a_i и b_j суть значения наблюдаемых, связанные с |𝑣_i⟩ и |ω_j⟩. Сравнивая уравнения (Р2.11) и (Р2.12), находим, что a_i b_j = x.

Решение для упражнения 2.25

Решение для упражнения 2.26

a) Если |ψ_A,B(t)⟩ — решения уравнения Шрёдингера в соответствующих пространствах:

то для их тензорного произведения имеет место равенство

c) Поскольку собственные состояния локальных гамильтонианов Ĥ_A,B образуют ортонормальные базисы (упр. A.60), тензорные произведения этих собственных состояний образуют ортонормальный базис в гильбертовом пространстве тензорных произведений 𝕍_A ⊗ 𝕍_B (упр. 2.2). Любое собственное состояние |Ψ_E⟩ оператора Ĥ с энергией E может быть разложено по этому базису.

Теперь предположим, что данное разложение содержит член |ψ_A⟩ ⊗ |ψ_B⟩, которому соответствует энергия E_A + E_B ≠ E. Тогда, как мы обнаружили в пункте b), этот член является также собственным состоянием полного двусоставного гамильтониана с собственным значением, не равным E. Но из спектральной теоремы (упр. A.60) следует, что собственные состояния наблюдаемого, соответствующие разным его собственным значениям, ортогональны друг другу. Это означает, что член |ψ_A⟩ ⊗ |ψ_B⟩ ортогонален |Ψ_E⟩. Но разложение вектора по базису не может содержать членов, ортогональных этому вектору. Мы пришли к противоречию.

Решение для упражнения 2.27. Согласно упр. 2.9, состояние |Ψ^—⟩ может быть записано как

Это выражение подразумевает, что всякий раз, когда у Алисы есть фотон в состоянии |θ⟩, фотон Боба находится в состоянии Поскольку оба слагаемых имеют амплитуду соответствующие вероятности составят 1/2.

Решение для упражнения 2.28. Поскольку и имеет место равенство:

а это то же самое, что (2.13).

Решение для упражнения 2.29. Согласно (2.16),

В последнем уравнении мы воспользовались тем, что состояние |Ψ⟩ нормировано.

Решение для упражнения 2.30

a) Мы можем переписать интересующее нас состояние как

Соответственно, ⟨Ψ|Ψ⟩ = 3𝒩₂, так что .

b) Чтобы переписать состояние |Ψ⟩ в виде (2.15), сгруппируем слагаемые, связанные с горизонтальной и вертикальной поляризацией у Алисы, и пронормируем каждое слагаемое заново:

c) Из приведенного выше результата следует, что Алиса обнаружит |H⟩ с вероятностью и в этом случае состояние, приготовленное у Боба, будет состояние же |V⟩ Алиса обнаружит с вероятностью в таком случае состояние, приготовленное у Боба, будет |V⟩.

Решение для упражнения 2.31

⟨ψ_Боб|Ω⟩ = (2⟨H| − i⟨V|)_Боб(2 |HH⟩ + 3 |HV⟩ + 4 |VH⟩) = 2 |H⟩_Алиса(2⟨H| − i⟨V|)_Боб|H⟩_Боб + 3 |H⟩_Алиса(2⟨H| − i⟨V|)_Боб|V⟩_Боб + 4 |V⟩_Алиса(2⟨H| − i⟨V|)_Боб|H⟩_Боб = (4 |H⟩ − 3i|H⟩ + 8 |V⟩)_Алиса = [(4 − 3i)|H⟩ + 8 |V⟩]_Алиса;