Отличная квантовая механика

Для доказательства обратного следствия предположим, что неопределенность измерения наблюдаемого в состоянии |ψ⟩ исчезает. Обозначив запишем:

где в последнем равенстве мы учли тот факт, что будучи наблюдаемым, эрмитов, так что По предположению, поэтому имеет место равенство

⟨ϕ|ϕ⟩ = ⟨ψ|ϕ⟩₂. (Р1.34)

Поскольку состояние |ψ⟩ нормированное, мы можем переписать уравнение (Р1.34) как

⟨ψ|ψ⟩⟨ϕ|ϕ⟩ = ⟨ψ|ϕ⟩₂.

Теперь заметим, что это уравнение представляет случай равенства в неравенстве Коши — Буняковского (A.10). А в упр. A.26 определено, что такое может произойти в том и только том случае, если состояния |ψ⟩ и |ϕ⟩ коллинеарны, т. е.

Решение для упражнения 1.36

Если оба оператора одновременно приводимы к диагональному виду, то можно представить их как и Тогда:

Теперь докажем обратное утверждение. Рассмотрим |𝑣₁⟩ — один из собственных векторов Â:

Â|𝑣₁⟩ = 𝑣₁|𝑣₁⟩

Умножим обе стороны уравнения на слева:

Коммутируя операторы в левой части уравнения, получаем

так что должно быть собственным состоянием Â с собственным значением A₁. Если собственное значение 𝑣₁ не вырождено, то такое возможно, только когда пропорционально |𝑣₁⟩ (упр. A.66), а это означает, что |𝑣₁⟩ есть собственное состояние

Теперь рассмотрим случай вырожденного 𝑣₁. Как мы знаем из упр. A.70, собственные состояния Â с собственным значением 𝑣₁ образуют подпространство (которое мы назовем А уравнение (Р1.38) говорит нам, что оператор  отображает любое состояние в на другое состояние в

Поскольку есть эрмитов оператор в в этом подпространстве он приводится к диагональному виду. То есть в существует ортонормальный базис, состоящий из собственных векторов Но поскольку содержит только собственные векторы Â, то каждый элемент этого базиса одновременно является собственным вектором обоих операторов.

Описанная выше процедура может быть применена к каждому из подпространств, связанных с собственными значениями оператора Â.

Решение для упражнения 1.37

Аналогично

Наконец,

Решение для упражнения 1.38. Левая часть неравенства Коши — Буняковского

при |a⟩ = Â|ψ⟩ и где Â и — эрмитовы операторы, принимает вид

Аналогичным образом правая часть выражения (Р1.40) превращается в

так что неравенство (Р1.40) приобретает вид (1.20).

Решение для упражнения 1.39. Поскольку ⟨Â⟩ = ⟨B⟩ = 0, имеют место равенства ⟨Δ²⟩ = ⟨A²⟩ и так что принцип неопределенности (1.21) принимает вид

Этот результат следует непосредственно из уравнений (1.19) и (1.20).

Решение для упражнения 1.40. Определим операторы Â' = Â — ⟨Â⟩ и Значения матожиданий этих наблюдаемых обращаются в нуль, поэтому мы можем использовать «упрощенный» принцип неопределенности из предыдущего упражнения, чтобы записать

В то же время имеют место равенства

Подставив (Р1.45) и (Р1.46) в (Р1.44), получим

Принцип неопределенности перестал бы действовать, если бы мы заменили коммутатор Â и на антикоммутатор или произведение этих операторов, потому что в таком случае (Р1.46) стало бы уже неприменимо.

Решение для упражнения 1.41

Решение для упражнения 1.42

Но мы знаем из упр. A.78, что поэтому

b) Принцип неопределенности принимает вид

Обе части этого выражения равны 1.

c) Произведение неопределенностей может обращаться в нуль для любого состояния, в котором математическое ожидание равно нулю. Например, если |ψ⟩ = |+⟩, то у наблюдаемого есть вполне определенное значение +1 и, следовательно, произведение неопределенностей равно нулю.

Решение для упражнения 1.43. Согласно (1.25):

Если пренебречь общим фазовым множителем, состояние |ψ(t)⟩ становится физически эквивалентно при или |E₁ − E₂|t/ℏ = π.

Решение для упражнения 1.44

a) Пусть {|E_k⟩} — энергетический собственный базис. Из (1.25) мы знаем, что Элементы матрицы оператора эволюции, следовательно, таковы:

b) Эту матрицу можно переписать в нотации Дирака с использованием (A.24) как

Сравнивая полученное с уравнением (1.26) для гамильтониана и определением (A.49) операторных функций, находим, что Оператор гамильтониана Ĥ соответствует физическому наблюдаемому — энергии — и потому эрмитов. Тогда оператор эволюции Шрёдингера должен быть унитарным согласно упр. A.92.

Решение для упражнения 1.46. Согласно результату упр. A.96,

что согласуется с уравнением Шрёдингера (1.31).

Решение для упражнения 1.47

a) Метод I. Собственные состояния оператора равны |H⟩ и |V⟩ с соответствующими собственными значениями ±1 (упр. 1.29), а это означает, что энергетические собственные значения E_H и E_V равны соответственно ℏω и —ℏω. Начальное состояние |ψ(0)⟩ = |H⟩ — собственное состояние гамильтониана (и, следовательно, стационарное состояние) и эволюционирует в соответствии с

Метод II. Поскольку оператор эволюции равен (ср. упр. A.94)

Применив (1.29), получим для фотона, первоначально находившегося в состоянии |ψ(0)⟩ = |H⟩,