Отличная квантовая механика

Решение для упражнения 1.24

a) Из уравнений (A.25) и (1.4) находим

b) Нам известно из табл. 1.1, что и

Следовательно, мы можем записать

c) Для полуволновой пластинки Δϕ = π, так что e^iΔϕ = –1. Для четвертьволновой пластинки Δϕ = π/2, так что e^iΔϕ = i. Подставив это в Â_Δϕ, получим выражения (1.5) (для полуволновой пластинки нам потребуется также применить тригонометрические тождества для синуса и косинуса двойного аргумента).

Решение для упражнения 1.25

a) Записав найдем:

b) Для четвертьволновой пластинки с оптической осью, ориентированной горизонтально, α = 0, так что (1.5b) принимает вид Применив это к состояниям диагональной и круговой поляризации, найдем:

Решение для упражнения 1.26. Исходя из (1.5a), находим, что матричное представление (в каноническом базисе) полуволновой пластинки с оптической осью, ориентированной вертикально, представляет собой оператор Эта волновая пластинка — все, что необходимо для реализации оператора

Аналогично [см. упр. 1.24 b)], полуволновой пластинки с оптической осью, выставленной под углом 135° к горизонтали, достаточно для реализации оператора

Если у нас есть последовательность оптических элементов, применяемых к фотону, то оператор для этой последовательности может быть найден путем перемножения операторов отдельных элементов (в обратном порядке, т. е. оператор, соответствующий первому оптическому элементу, в произведении должен стоять последним). Поскольку

оператор Паули может быть реализован (с точностью до общего фазового множителя) при помощи полуволновой пластинки с оптической осью, ориентированной под 135°, за которой следует полуволновая пластинка с оптической осью, ориентированной вертикально.

Решение для упражнения 1.27

c) Матрица (1.5a) принимает вид матрицы Адамара при 2α = 5π/4. Операция Адамара, следовательно, может быть реализована при помощи полуволновой пластинки с оптической осью, ориентированной под углом 5π/8 = 112,5°.

Решение для упражнения 1.28

Решение для упражнения 1.29. Начнем с того, что запишем оператор наблюдаемого для измерения в каноническом базисе в нотации Дирака согласно определению (1.12):

(1) |H⟩⟨H| + (–1) |V⟩ ⟨V|. (Р1.18)

Это эквивалентно оператору Паули [см. (1.6с)].

Аналогичным образом, воспользовавшись табл. 1.1, найдем для измерения в диагональном базисе

Решение для упражнения 1.30

a) Оператор наблюдаемого задан (1.12). Поскольку собственные значения наблюдаемого действительны (т. е. 𝑣_i* = 𝑣_i), сопряженный оператор равен ему же:

b) Это следует из спектральной теоремы (упр. A.60).

Решение для упражнения 1.31. Начнем с матрицы Паули

Мы ищем собственные значения и собственные векторы этой матрицы (подробности данной процедуры см., например, в решении для упр. A.64). Характеристическое уравнение принимает вид:

Решив это уравнение относительно 𝑣, находим, что собственные значения равны 𝑣_1,2 = ±1.

Теперь, решая уравнение получаем собственный вектор связанный с каждым из этих собственных значений. Уравнение приобретает вид

из которого при 𝑣₁ = 1 находим α = β. Применяем условие нормирования α² + β² = 1 и определяем нормированный собственный вектор

Использовав эту же процедуру при 𝑣₂ = –1, получаем:

Теперь мы, следуя той же процедуре, вычисляем собственные векторы и собственный базис для двух остальных матриц Паули. Для получаем 𝑣_1,2 = ±1 и

Матрица уже диагональна, так что 𝑣_1,2 = ±1 и

Эти результаты согласуются с альтернативным определением матриц Паули из упр. 1.29.

Обратите внимание, что во всех трех случаях матричные представления операторов Паули в их собственных базисах состоят из собственных значений, размещенных по диагонали:

Решение для упражнения 1.32

a) Пользуясь (Б.1), мы можем написать, что величина математического ожидания задается как

где 𝑣_i — величина, полученная при измерении, а pr_i — вероятность обнаружить |ψ⟩ в состоянии |𝑣_i⟩. Эта вероятность равна

pr_i = |⟨𝑣_i|ψ⟩|² = ⟨ψ|𝑣_i⟩⟨𝑣_i|ψ⟩ (Р1.26)

и отсюда

b) По аналогии с пунктом a) пишем

Преобразуя оператор в правой части (1.15), получим

Тогда квантовое среднее значение этого оператора

а это то же самое, что правая часть уравнения (Р1.29).

Чтобы доказать (1.16), воспользуемся результатом упр. Б.2 в качестве аргумента в пользу того, что

Первое слагаемое в этом выражении представляет собой величину матожидания оператора

Решение для упражнения 1.34. Эксперимент, о котором идет речь, эквивалентен измерению наблюдаемого N раз и суммированию всех результатов. Статистика такого суммирования вычислена в упр. Б.5. Применив результат упр. 1.33, выясняем, что значение математического ожидания N⟨σ_Z⟩ = 0, а неопределенность

Решение для упражнения 1.35. Если |ψ⟩ — собственное состояние оператора то имеют место равенства и

Следовательно,