Отличная квантовая механика

Это свойство чрезвычайно важно, поскольку позволяет производить с дельта-функцией осмысленные вычисления, несмотря на ее сингулярную природу. Хотя дельта-функция не имеет численного значения во всей своей области определения, у интеграла произведения дельта-функции и любой другой функции, конечной в окрестности точки х=0, оно есть. Мы можем записать дельта-функцию вне интеграла, но должны всегда помнить, что в процессе преобразований она в итоге станет частью интеграла и тогда даст численное значение — к примеру, предсказание экспериментального результата.

Фактически уравнение (Г.3) можно рассматривать как строгое математическое определение дельта-функции. Пользуясь этим определением, мы можем получить другие ее базовые свойства.

Упражнение Г.2. Покажите, что:

Упражнение Г.3. Для ступенчатой функции Хевисайда

Подсказка: используйте уравнение (Г.3).

Упражнение Г.4. Покажите, что для любого c < 0 и d > 0

Г.2. Преобразование Фурье

Определение Г.1. Результатом преобразования Фурье функции 𝑓 (x) называется функция параметра k, определенная следующим образом[143]:

Это важное интегральное преобразование, используемое во всех областях физики. Рассмотрим, к примеру, оптическую волну, излучаемую множеством оптических источников разных частот. Волна, излучаемая конкретным источником частоты ω, имеет вид 𝑓(ω) e^—iωt, где 𝑓(ω) — комплексная амплитуда этого источника. А суммарный сигнал от всех источников равен т. е. Фурье-образу функции 𝑓(ω) — частотного спектра набора источников. Плотность энергии спектра — функция |𝑓(ω)|² — может быть измерена экспериментально при помощи оптического элемента с дисперсией, такого как призма.

Упражнение Г.5. Покажите, что, если существует, то:

Упражнение Г.6. Покажите, что Фурье-образ гауссовой функции тоже является гауссовой функцией:

Уравнение (Г.12) нам показывает, что масштабирование аргумента x некоторой функции приводит к обратному масштабированию аргумента k ее Фурье-образа. В частности (упр. Г.6), сигнал с гауссовым спектром ширины b есть гауссов импульс ширины 2/b, поэтому произведение двух ширин представляет собой константу. Это проявление частотно-временнóй неопределенности, которая действует в широком спектре волновых явлений в классической физике. Мало того — как мы видим в подразд. 3.3.2, это одна из возможных интерпретаций принципа неопределенности Гейзенберга в приложении к координате и импульсу.

А теперь рассмотрим два экстремальных случая преобразования Фурье гауссовых функций.

Упражнение Г.7. Покажите, что:

Если спектр содержит только нулевую частоту, то сигнал не зависит от времени, что неудивительно. Если же сигнал представляет собой мгновенную «вспышку», происходящую в момент времени t = 0, он будет содержать все частоты; его спектр — константа. Из этого наблюдения есть одно интересное следствие.

Упражнение Г.8. Покажите, что при a ≠ 0

Этот результат очень важен для многих вычислений с использованием преобразования Фурье. В его полезности мы скоро убедимся.

Упражнение Г.9. Считая a и b действительными и положительными, найдите Фурье-образы следующих функций:

Преобразование Фурье обратимо: для любого зависящего от времени импульса можно вычислить его частотный спектр, для которого данный импульс является Фурье-образом. Примечательно, что преобразование Фурье очень похоже на обратное ему преобразование. Намек на этот факт можно увидеть, к примеру, в (Г.13) и (Г.14). Сдвиг аргумента 𝑓(x) ведет к умножению на комплексную фазу. Если же мы домножаем 𝑓(x) на комплексную фазу, аргумент сдвигается.

Определение Г.2.Обратным преобразованием Фурье функции g (k) называется функция аргумента x, такая что

Отступление Г.1. Интерпретируем (Г.8)

Результат (Г.8), на первый взгляд, говорит нам, что интеграл равен нулю при k ≠ 0. Это противоречит традиционному интегральному исчислению, согласно которому интеграл конечной осциллирующей функции e^ikx должен расходиться при любом k. Чтобы разобраться с этим кажущимся противоречием, мы должны вспомнить, что (Г.19) верно только как обобщенная функция — т. е. как часть интеграла (Г.3). И в самом деле, если подставить (Г.19) в (Г.3), получится сходящийся интеграл.

Следовательно, хотя численного значения интеграла (Г.19) для любого конкретного k не существует, он имеет смысл как обобщенная функция k.

Упражнение Г.10. Покажите, что

Упражнение Г.11. Покажите, что

Упражнение Г.12§. Выведите аналоги правил, приведенных в упр. Г.5, для обратного преобразования Фурье.

Ответ: обозначив получим:

Решения

к учебному пособию

Глава Р1. Решения к упражнениям главы 1