Отличная квантовая механика

Решение для упражнения 1.1. Воспользовавшись результатом упр. A.15, запишем (не забывая о комплексном сопряжении там, где это нужно!):

⟨ψ | ψ⟩ = N(2⟨жива | ψ⟩ — i⟨мертва | ψ⟩) = N² (4⟨жива | жива⟩ + 2i⟨жива | мертва⟩ — 2i⟨мертва | жива⟩ + ⟨мертва | мертва⟩). (Р1.1)

Поскольку |мертва⟩ и |жива⟩ — физические состояния, их нормы равны 1. Однако эти состояния несовместимы друг с другом, так что их скалярное произведение пропадает. Следовательно, имеет место равенство ⟨ψ | ψ⟩ = N² (4 + 1) = 5N², а значит,

Решение для упражнения 1.2. Хотя движение одномерно, ни одно координатное состояние не совместимо с другими: ⟨x | x′⟩ = 0, если x ≠ x′. Поэтому существует бесконечно много линейно независимых состояний, и размерность гильбертова пространства равна бесконечности.

Решение для упражнения 1.3. В каждом наборе у нас по два вектора. Исходя из результатов упр. A.19 и двумерности нашего гильбертова пространства, достаточно показать, что эти векторы ортонормальны. Вычислим скалярные произведения векторов, выразив их в матричном виде, в каноническом базисе согласно табл. 1.1.

a) Для диагональных состояний находим:

b) Аналогично находим для круговых состояний [производим комплексное сопряжение согласно (A.5)]:

Решение для упражнения 1.4. Для диагонального базиса мы выводим, пользуясь табл. 1.1, что

и, таким образом, Аналогично для кругового базиса поляризации:

Решение для упражнения 1.5. Воспользовавшись табл. 1.1, выразим состояния |a⟩ и |b⟩ в каноническом базисе:

Теперь мы можем применить тот же подход, что и в предыдущем упражнении.

Таким образом, разложение |a⟩ в диагональном базисе поляризации — это

Чтобы найти скалярное произведение в каждом из трех базисов, используем (A.5):

Все три скалярных произведения одинаковы, что подтверждает теорию.

Решение для упражнения 1.6. В соответствии с (A.7) состояние |ψ⟩ раскладывается в базисе |𝑣_i⟩ согласно

Решение для упражнения 1.7. Предположим, что состояние |ψ⟩, измеренное в базисе {|𝑣_i⟩}, дает вероятности pr_i = |⟨𝑣_i | ψ⟩|². Тогда для состояния |ψ′⟩ = eⁱϕ |ψ⟩ имеет место равенство

Решение для упражнения 1.8

a) Как мы обнаружили в упр. В.8, состояние |45°⟩ после прохождения через волновую пластинку под углом 22,5° станет |H⟩ и затем пройдет через PBS. Состояние |–45°⟩, в свою очередь, станет |𝑣⟩ и отразится от PBS. Следовательно, эти два состояния дадут щелчки в двух разных фотонных детекторах, так что данное устройство способно их различить.

b) Как выяснилось в упр. В.9, два состояния с круговой поляризацией, проходящие через четвертьволновую пластинку под углом 0°, превращаются в диагонально поляризованные состояния. Последующая часть устройства эквивалентна описанной в части a) и, следовательно, позволяет различить эти состояния.

Решение для упражнения 1.10. Устройство будет аналогично тому, что показано на рис. 1.2 b, но оптическую ось волновой пластинки нужно установить под углом θ/2 к горизонтали. Такая волновая пластинка будет переводить состояние |θ⟩ в |H⟩, а в |V⟩.

Решение для упражнения 1.11. Нужна всего одна четвертьволновая пластинка с оптической осью, ориентированной под 45° к горизонтали. В системе отсчета, связанной с этой волновой пластинкой, состояния |H⟩ и |V⟩ представляются диагонально поляризованными, так что волновая пластинка взаимно конвертирует состояния в каноническом и круговом базисах согласно |H⟩ → |R⟩ → |V⟩ → |L⟩ → |H⟩. Следовательно, такая волновая пластинка, если за ней будет помещаться поляризующий светоделитель, направит все фотоны с правой круговой поляризацией в один детектор, а с левой — в другой.

Решение для упражнения 1.12

a) Воспользуемся теоремой о полной вероятности (упр. Б.6). Имея в виду, что на вход поступает либо |H⟩ с вероятностью 1/2, либо |V⟩ с вероятностью 1/2, и используя результат упр. 1.9, находим:

Решение для упражнения 1.13. Используем разложения, найденные в упр. 1.5:

Из этого следует, что измерение даст состояние |H⟩ с вероятностью 75 % и состояние |V⟩ с вероятностью 25 %.

Решение для упражнения 1.14

Решение для упражнения 1.15. Для обобщенного состояния поляризации |ψ⟩ = ψ_H |H⟩ + ψ_V |V⟩ выразим и где в обоих случаях ϕ действительны, r действительны и неотрицательны. Вспомнив, что изменение общей фазы системы не влияет на ее физику, мы можем домножить состояние |ψ⟩ на фазовый множитель тогда |ψ⟩ = r_H |H⟩ + r_V e^iϕ |V⟩ (где мы определили новую переменную ϕ = ϕ_V — ϕ_H). Наша задача — найти три неизвестные переменные r_H, r_V и ϕ.

Посмотрим сначала на измерение в каноническом базисе. Вероятность обнаружить горизонтально поляризованный фотон равна

отсюда находим:

Здесь мы воспользовались тем, что r_H и r_V действительны и положительны, а также применили условие нормирования