Отличная квантовая механика

Остается определить ϕ. Запишем вероятность обнаружить фотон, поляризованный под +45°, следующим образом:

а для состояния с правой круговой поляризацией так:

Ни одно из этих уравнений не позволяет однозначно определить ϕ. Например, у состояний |R⟩ и |L⟩ (для которых ϕ = ± π/2 соответственно) cos ϕ = 0, поэтому их различить при помощи измерений только в каноническом и только в диагональном базисах невозможно. Однако эти два уравнения, взятые вместе, дают нам одновременно синус и косинус угла и, следовательно, позволяют однозначно определить величину ϕ.

Решение для упражнения 1.16

a) Считаем для простоты, что пространство, в котором мы собираемся измерять состояния, двумерно. Прибор, способный четко определить одно из состояний, скажем, |a⟩, должен включать в себя проективное измерение, связанное с базисом {|a⟩, |a_⊥⟩}, где |a_⊥⟩ — некоторое состояние, ортогональное к |a⟩.

Если этот прибор теперь применяется для измерения состояния |b⟩, он с ненулевой вероятностью |⟨a | b⟩|² покажет |a⟩. Следовательно, с некоторой вероятностью проективное измерение выдаст одинаковый результат для |a⟩ и для |b⟩. Какой бы классической обработке ни подвергался результат этого измерения, неоднозначность сохранится.

b) Такое устройство может быть изготовлено из двух подустройств, одно из которых измеряет в базисе {|a⟩, |a_⊥⟩}, а второе — в базисе {|b⟩, |b_⊥⟩}, и генератора случайных событий, который случайным образом отправляет состояния в одно из подустройств; например, это может быть неполяризующий светоделитель. Если второе подустройство регистрирует состояние |b_⊥⟩, становится ясно, что входящее состояние было точно не |b⟩, значит, это было |a⟩. Аналогично, если первое подустройство регистрирует состояние |a_⊥⟩, то входящее состояние — точно |b⟩. В случае любого другого результата входящее состояние остается неопределенным.

Решение для упражнения 1.17. Фотон с 50 %-ной вероятностью пойдет либо по верхнему, либо по нижнему пути. Если по нижнему, бомба взорвется. Если по верхнему, то он выйдет из интерферометра в состоянии вертикальной поляризации и с равной вероятностью попадет либо в детектор «+», либо в «−». Таким образом, вероятность события в каждом из детекторов равна 25 %. В случае срабатывания детектора «−» бомба обнаружена. Если срабатывает детектор «+», вывода о наличии бомбы сделать нельзя.

Решение для упражнения 1.18. Прежде всего заметим, что к ошибкам могут привести только те события, в которых Алиса и Боб пользуются одним и тем же базисом (так как остальные события из рассмотрения выбрасываются). Примерно в половине событий Ева тоже будет пользоваться этим базисом, и тогда она не привнесет ошибки. В оставшейся половине событий Ева перехватит и заново отправит фотон в неверном базисе, который затем будет случайным образом зарегистрирован одним из детекторов Боба. С вероятностью 1/2 это будет «не тот» детектор, поэтому Боб запишет значение бита, отличающееся от того, что было выслано Алисой. Следовательно, общая вероятность ошибки составит 1/2 × 1/2 = 1/4.

Решение для упражнения 1.19. Потери не влияют на безопасность, потому что при генерации секретного ключа Алиса и Боб не используют данные тех событий, в которых фотон был утрачен.

Решение для упражнения 1.20

a) Уровень потерь в 5 % на 1 км подразумевает, что n(L) = n₀e^—βL = 0,95n₀ при L = 1 км. Соответственно, β = —(ln 0,95) км^–1 ≈ 0,0513 км^–1.

b) При L = 300 км получаем e^—βL ≈ e^–15 ≈ 2 × 10^–7.

Решение для упражнения 1.21. Из n₀ фотонов, отправляемых Алисой каждую секунду, до Боба дойдут n₀e^—βL; каждый из них будет зарегистрирован с вероятностью η. Из зарегистрированных фотонов половина будет использована для генерации секретного ключа, так что скорость передачи[144] квантовых битов составит ηn₀e^—βL/2. Кроме того, два детектора Боба генерируют темновые срабатывания со скоростью 2𝑓_d, но половина этих срабатываний соответствует событиям, при которых Алиса и Боб выбрали разные базисы. Из оставшейся половины опять-таки только половина событий окажется «не в том» детекторе, породив таким образом ошибку в секретном ключе. Так что частота ошибок квантового бита составит 𝑓_d/2.

Доля ошибок в полученном секретном ключе окажется, соответственно, 𝑓_d /(𝑓_d + ηn₀e^—βL). Если она будет выше 11 %, безопасность не гарантируется. Такое происходит, когда L ≈ 200 км при n₀ = 2 × 10⁷ с^–1 и когда L ≈ 340 км при n₀ = 2 × 10¹⁰ с^–1 (рис. 1.5).

Решение для упражнения 1.22. Используя результат упр. A.45, запишем

Чтобы применить этот же подход в базисе {|R⟩, |L⟩} нам потребовалось бы получить выражения для |+⟩ и |—⟩ в этом базисе. В качестве альтернативного метода мы используем выражение (A.21) для преобразования оператора из дираковой формы в матричную:

Решение для упражнения 1.23

a) Пользуясь (A.25), запишем:

b) Аналогично