Отличная квантовая механика

Однако вероятность того, что Q лежит в некотором диапазоне значений — скажем, что ядро атома распадется в промежутке от 2 мс до 2,01 мс, — конечна. Поэтому мы можем дискретизировать непрерывную переменную: разделить диапазон значений, которые принимает Q, на равные интервалы шириной δQ. Затем становится возможным определить дискретную случайную переменную с возможными значениями соответствующими центральным точкам каждого интервала, и связанную с ней конечную вероятность того, что Q попадет в пределы этого интервала [рис. Б.4 a, b]. Как и для любого другого распределения вероятности, Разумеется, чем меньший интервал мы выберем, тем точнее опишем поведение непрерывной случайной переменной.

Можно ожидать, что значения вероятности, связанные с соседними интервалами, будут близки друг к другу, если интервалы мы выбрали достаточно маленькие. Для атомного распада, к примеру, мы можем записать pr _{[2,00 мс, 2,01 мс]} ≈ pr _{[2,01 мс, 2,02 мс]} ≈ 1/2 pr _{[2,00 мс, 2,02 мс]}. Иными словами, для малых значений интервала величина не зависит от δQ. Следовательно, мы можем ввести понятие плотности вероятности, или непрерывного распределения вероятности[139]:

где i (Q) есть номер интервала, в пределах которого локализована величина Q, а предел берется по множеству дискретизированных распределений вероятности для Q. Эта плотность вероятности — основная характеристика непрерывных случайных величин.

Обратите также внимание, что поскольку дискретная вероятность — величина безразмерная, то размерность непрерывной плотности вероятности pr (Q) всегда обратна размерности соответствующей случайной переменной Q.

Упражнение Б.16. Для непрерывной случайной переменной с плотностью вероятности pr (Q) покажите, что:

Упражнение Б.17. Найдите плотность вероятности, матожидание и среднеквадратичное отклонение для времени распада радиоактивного ядра с периодом полураспада τ = 1 мс.

Плотность вероятности в природе часто имеет гауссово, или нормальное, распределение:

где b есть его ширина (рис. Б.5). Как правило, гауссово распределение управляет физическими величинами, находящимися под воздействием множественных небольших случайных эффектов, которые суммируются[140]. Например:

• положение частицы, участвующей в броуновском движении;

• время на часах, подверженных влиянию случайных флуктуаций температуры в комнате;

• компонент скорости газовой молекулы вдоль какой-то определенной оси.

Упражнение Б.18. Для гауссова распределения G_b (x — a) покажите следующее:

a) Распределение нормировано, т. е.

Замечу, что (Б.17) выполняется также для комплексного b, при условии что Re (b) > 0.

b) Среднее значение равно ⟨x⟩ = a.

c) Дисперсия равна ⟨Δx₂⟩ = b₂/2.

Подсказка: используйте

Приложение В. Введение в физику оптической поляризации

В.1. Поляризация света

Рассмотрим классическую плоскую электромагнитную волну, распространяющуюся вдоль (горизонтальной) оси z с угловой частотой ω и волновым числом k = ω/c, где c — скорость света. Эта электромагнитная волна является поперечной, так что вектор ее электрического поля лежит в плоскости x-y:

Здесь — единичные векторы вдоль осей x и y соответственно; A_H и A_V — действительные амплитуды x- и y-компонентов (которые мы будем называть горизонтальным и вертикальным), а ϕ_H и ϕ_V — их фазы.

Упражнение В.1§. Покажите, что уравнения (В.1) и (В.2) эквивалентны.

Интенсивность света в каждой поляризации пропорциональна

Полная интенсивность волны есть сумма двух ее компонентов:

Исследуем поведение вектора электрического поля в некоторой конкретной точке в пространстве, скажем, z = 0. Если два компонента поля различаются по фазе, будет менять направление в зависимости от времени, как показано на рис. В.1. Чтобы лучше разобраться в этом интересном явлении, попробуйте выполнить следующее упражнение.

Упражнение В.2. Постройте график зависимости горизонтального и вертикального компонентов вектора от времени в интервале 0 ≤ ωt ≤ 2π для следующих случаев:

a) A_H = 1 В/м, A_V = 0, ϕ_H = ϕ_V = 0;

b) A_H = 5 В/м, A_V = –3 В/м, ϕ_H = ϕ_V = 0;

c) A_H = 5 В/м, A_V = –3 В/м, ϕ_H = π/2, ϕ_V = 0;

d) A_H = 5 В/м, A_V = –3 В/м, ϕ_H = π/4, ϕ_V = —π/4;

e) A_H = 5 В/м, A_V = –3 В/м, ϕ_H = 0, ϕ_V = π/6.

В каждом из приведенных случаев постройте траекторию точки (E_x, E_y) для постоянной z как функцию времени.