Отличная квантовая механика

A.10. Унитарные операторы

Определение A.24. Линейные операторы, отображающие все векторы с нормой 1 на векторы с нормой 1, называют унитарными (unitary).

Упражнение A.79. Покажите, что унитарные операторы сохраняют норму любого вектора, т. е. если |a'⟩ = Û|a⟩, то ⟨a|a⟩ = ⟨a'|a'⟩.

Упражнение A.80. Покажите, что оператор Û является унитарным в том и только том случае, когда он сохраняет скалярное произведение любых двух векторов, т. е. если |a'⟩ = Û|a⟩ и |b'⟩ = Û|b⟩, то ⟨a|b⟩ = ⟨a'|b'⟩.

Упражнение A.81. Покажите, что:

a) унитарный оператор отображает любой ортонормальный базис {|𝑤_i⟩} на ортонормальный базис;

b) верно обратное утверждение: для любых двух ортонормальных базисов {|𝑣_i⟩}, {|𝑤_i⟩} оператор Û = 𝝨_i|𝑣_i⟩⟨𝑤_i| унитарен (иными словами, любой оператор, который отображает один ортонормальный базис на другой ортонормальный базис, является унитарным).

Упражнение A.82. Покажите, что оператор Û унитарен в том и только том случае, если (т. е. для него сопряженный оператор равен обратному).

Упражнение A.83. Покажите следующее.

a) Любой унитарный оператор может быть приведен к диагональному виду, а все его собственные значения имеют абсолютную величину 1, т. е. их можно записать в виде e^iθ, где θ ∈ ℝ.

Подсказка: воспользуйтесь упр. A.63.

b) Любой диагонализируемый оператор (т. е. такой оператор, матрица которого становится диагональной в некотором базисе) с собственными значениями, равными по абсолютной величине 1, является унитарным.

Упражнение A.84. Покажите, что следующие операторы унитарны:

a) операторы Паули (1.7);

b) поворот на угол ϕ в линейном пространстве двумерных геометрических векторов над ℝ.

Семейства эрмитовых и унитарных операторов частично перекрываются, но не идентичны (рис. A.1). Оператор, который является одновременно эрмитовым и унитарным, должен быть обратен самому себе, как показано в упр. A.82. Такие операторы встречаются относительно редко.

A.11. Функции операторов

Концепция функции оператора имеет множество приложений в линейной алгебре и дифференциальных уравнениях. Она удобна также в квантовой механике, поскольку позволяет легко рассчитывать операторы эволюции.

Определение A.25. Рассмотрим комплексную функцию 𝑓(x), определенную на ℂ. Функцией 𝑓(Â) диагонализируемого оператора Â называется следующий оператор:

где {|a_i⟩} есть ортонормальный базис, в котором Â принимает диагональный вид:

Упражнение A.85. Покажите, что если вектор |a⟩ есть собственный вектор эрмитова оператора Â с собственным значением 𝑓(Â)|a⟩ = 𝑓(a)|a⟩.

Упражнение A.86. Предположим, оператор Â эрмитов и функция 𝑓(x), примененная к любому действительному аргументу x, принимает действительное значение. Покажите, что 𝑓(Â) — тоже эрмитов оператор.

Упражнение A.87. Предположим, оператор Â эрмитов, и функция 𝑓(x), примененная к любому действительному аргументу x, принимает действительное неотрицательное значение. Покажите, что 𝑓(Â) — неотрицательный оператор (см. определение A.22).

Упражнение A.88. Найдите матрицы и ln в ортонормальном базисе, в котором

Упражнение A.89. Найдите матрицу e^iθÂ, где

Подсказка: одно из собственных значений Â равно 0, а это означает, что соответствующий собственный вектор не появляется в спектральном разложении (A.50) оператора Â. Однако экспонента соответствующего собственного значения не равна нулю, и соответствующие собственные векторы все же фигурируют в операторной функции (A.49).

Упражнение A.90. Покажите, что для любого оператора Â и функции 𝑓 выполняется [Â,𝑓(Â)] = 0.

Упражнение A.91. Предположим, 𝑓(x) имеет разложение в ряд Тейлора 𝑓(x) = 𝑓₀ + 𝑓₁x + 𝑓₂x² + …. Покажите, что

Упражнение A.92. Покажите, что если оператор  эрмитов, то оператор e^i унитарен и

Упражнение A.93*. Пусть есть единичный вектор (т. е. вектор длины 1). Покажите, что

Подсказка: находить решения для собственных векторов оператора в явном виде нет необходимости.

Упражнение A.94§. Найдите матрицы операторов в каноническом базисе.

Ответ:

Определение A.26. Предположим, вектор |ψ (t)⟩ зависит от некоторого параметра t. Производная |ψ (t)⟩ относительно t определяется как вектор

Аналогичным образом производная оператора Ŷ(t) относительно t есть оператор

Упражнение A.95. Предположим, матричный вид вектора |ψ (t)⟩ в некотором базисе таков:

Запишите выражение для матричного вида производной оператора.

Упражнение A.96. Предположим, оператор Â диагонализируем в ортонормальном базисе и не зависит от t, где t — действительный параметр. Покажите, что

Упражнение A.97*. Для двух операторов предположим, что