Отличная квантовая механика

Упражнение A.37. Найдите матричное представление вектора Â|𝑣_j⟩ в базисе {|𝑣_i⟩}, где |𝑣_j⟩ — элемент этого базиса, j задано, а матрица Â известна.

Упражнение A.38. Покажите, что если

в некотором базисе, то вектор Â|a⟩ задается матричным произведением

Упражнение A.39. Матрицы A_ij и B_ij операторов заданы. Найдите матрицы операторов:

Последние два упражнения показывают, что операции с операторами и векторами легко представляются на языке матриц и столбцов. Однако есть одна важная оговорка: матрицы векторов и операторов зависят от выбранного базиса — в отличие от «физических» операторов и векторов, которые определяются независимо от какого бы то ни было конкретного базиса.

Эту разницу обязательно нужно учитывать, когда принимается решение о том, в какой нотации проводить вычисления — в матричной или дираковой. Если для краткости вы выбираете матричную нотацию, то вам следует всегда помнить, с каким базисом вы работаете, и записывать все матрицы именно в этом базисе.

Упражнение A.40. Покажите, что элементы матрицы оператора Â в ортонормальном базисе {|𝑣_i⟩} задаются выражением:

Â_ij = ⟨𝑣_i|(Â|𝑣_i) ≡ ⟨𝑣_i|Â|𝑣_i⟩. (A.21)

Упражнение A.41. Найдите матрицы операторов соответствующих повороту двумерного геометрического пространства на углы φ и θ соответственно [упр. A.31 (f)]. Воспользовавшись результатом упр. A.39, найдите матрицу оператора и убедитесь в том, что она соответствует повороту на угол (φ + θ).

Упражнение A.42. Приведите пример базиса и определите размерность линейного пространства линейных операторов над гильбертовым пространством размерности N (см. упр. A.32).

A.6.3. Внешние произведения

Определение A.20. Под внешним произведением (outer product) |a⟩⟨b| понимается оператор, действующий следующим образом:

(|a⟩⟨b|) |c⟩ ≡ |a⟩ (⟨b | c⟩) = (⟨b | c⟩) |a⟩. (A.22)

(Во втором равенстве учитывается тот факт, что ⟨b| c⟩ представляет собой число и коммутирует с чем угодно.)

Упражнение A.43. Покажите, что |a⟩⟨b| в смысле приведенного выше определения есть линейный оператор.

Упражнение A.44. Покажите, что (⟨a | b⟩) (⟨c | d⟩) = ⟨a| (|b⟩⟨c|) |d⟩.

Упражнение A.45. Покажите, что матрица оператора |a⟩⟨b| задается так:

Этот результат дает интуитивное понимание внешнего произведения. Как говорилось в предыдущем разделе, кет-вектор соответствует столбцу, а бра-вектор — строке. Согласно правилам перемножения матриц, произведение столбца на строку представляет собой квадратную матрицу, а соответствующее внешнее произведение — это просто оператор, задаваемый этой матрицей.

Упражнение A.46. Пусть A_ij — матрица оператора Â в ортонормальном базисе {|𝑣_i⟩}. Покажите, что

Упражнение A.47. Пусть Â — оператор, а {|𝑣_i⟩} — ортонормальный базис в гильбертовом пространстве. Известно, что Â|𝑣₁⟩ = |𝑤₁⟩….,Â|𝑣_N⟩ = |𝑤_N⟩, где |𝑤₁⟩,…,|𝑤_N⟩ — некоторые векторы (необязательно ортонормальные). Покажите, что

Эти упражнения раскрывают значимость внешнего произведения. Во-первых, (A.24) дает способ перевода матрицы оператора в диракову нотацию. Данный результат дополнителен к уравнению (A.21), которое используется для достижения обратной цели — переведения оператора из дираковой нотации в матричную. Во-вторых, уравнение (A.25) позволяет построить выражение для оператора на основе наших знаний о том, как этот оператор отображает элементы произвольного ортонормального базиса. Мы обнаружим, что оно очень полезно на практике, когда попытаемся связать оператор с физическим процессом.

Ниже приводятся два упражнения для практики в использовании данных результатов; за ними последует еще одно весьма важное приложение внешнего произведения.

Упражнение A.48. Матрица оператора Â в базисе {|𝑣₁⟩, |𝑣₂⟩} равна

Выразите этот оператор в дираковой нотации.

Упражнение A.49. Пусть {|𝑣₁⟩, |𝑣₂⟩} — ортонормальный базис в двумерном гильбертовом пространстве. Предположим, оператор Â отображает а Найдите матрицу Â в базисе {|𝑣₁⟩, |𝑣₂⟩}.

Подсказка: обратите внимание на то, что {|u₁⟩, |u₂⟩} — ортонормальный базис.

Упражнение A.50. Покажите, что для любого ортонормального базиса {|𝑣_i⟩}

Этот результат (resolution of the identity) полезен для следующего применения. Предположим, что мы знаем матрицу Â в некотором ортонормальном базисе {|𝑣_i⟩} и хотим найти его матрицу в другом ортонормальном базисе — {|𝑤_i⟩}. Это можно сделать следующим образом:

Центральный объект в последней строке — элемент матрицы Â в «старом» базисе {|𝑣_i⟩}. Поскольку нам известны скалярные произведения всех пар элементов в старом и новом базисах, мы можем использовать приведенное выражение, чтобы найти каждый элемент матрицы Â в новом базисе. Мы будем использовать данный прием на протяжении всего курса.

Вычисление можно упростить, если интерпретировать последнюю строку (A.27) как произведение трех матриц. Пример этого — в следующем упражнении.