Отличная квантовая механика

Упражнение A.18. Покажите, что при умножении вектора на фазовый множитель e^iϕ, где ϕ — действительное число, его норма не меняется.

Определение A.12. Линейное пространство, в котором определено скалярное произведение, называется гильбертовым пространством (Hilbert space).

A.4. Ортонормальный базис

Определение A.13.Ортонормальным (ортонормированным) базисом {|𝑣_i⟩} называется базис, элементы которого взаимно ортогональны и имеют норму, равную 1, т. е.

⟨𝑣_i | 𝑣_j⟩ = δ_ij, (A.3)

где δ_ij — символ Кронекера.

Упражнение A.19. Покажите, что любое ортонормальное множество из N векторов (где N = dim 𝕍) образует базис.

Упражнение A.20. Покажите, что если  суть разложения векторов |a⟩ и |b⟩ по ортонормальному базису, то их скалярное произведение можно записать в виде

Уравнение (A.4) может быть выражено в матричной форме при помощи правила «строка-на-столбец»:

Одной из областей применения приведенных выше правил вычисления скалярного произведения является обычная пространственная геометрия. Как мы узнали в упр. A.10, координаты геометрических векторов соответствуют их разложению по ортонормальному базису поэтому неудивительно, что их скалярные произведения задаются уравнением (A.4).

Предположим, мы вычисляем скалярное произведение одной и той же пары векторов по (A.5) в двух разных базисах. Тогда в правой стороне уравнения у нас будут стоять разные числа, и может показаться, что скалярное произведение тоже станет зависеть от выбранного базиса. Однако на самом деле это не так: согласно определению A.9, скалярное произведение определяется для пары векторов и не зависит от базиса.

Упражнение A.21. Покажите, что коэффициенты разложения

вектора |a⟩ по ортонормальному базису можно найти следующим образом:

a_i = ⟨𝑣_i | a⟩. (A.6)

Иными словами [см. (A.1)],

Упражнение A.22. Рассмотрим два вектора в двумерном гильбертовом пространстве: |ψ⟩ = 4 |𝑣₁⟩ + 5 |𝑣₂⟩ и |ϕ⟩ = –2 |𝑣₁⟩ + 3i |𝑣₂⟩, где {|𝑣₁⟩, |𝑣₂⟩} — ортонормальный базис.

a) Покажите, что множество

также является ортонормальным базисом.

b) Найдите матрицы векторов |ψ⟩ и |ϕ⟩ в обоих базисах.

c) Вычислите скалярное произведение этих векторов в обоих базисах, используя (A.5). Покажите, что они совпадают.

Упражнение A.23. Покажите, что если |a⟩ есть нормированный вектор, а {a_i = ⟨𝑣_i |a⟩} — его разложение в ортонормальном базисе {|𝑣_i⟩}, то

Упражнение A.24. Предположим, что {|𝑤_i⟩} есть некоторый базис в 𝕍. Покажите, что он может быть использован для нахождения ортонормального базиса {|𝑣_i⟩} путем применения следующего уравнения последовательно к каждому из элементов базиса:

где 𝒩 — коэффициент нормирования. Это называется процедурой Грама — Шмидта.

Упражнение A.25*. Для нормированного вектора |ψ⟩ в N-мерном гильбертовом пространстве и любого натурального числа m ≤ N покажите, что возможно найти базис {|𝑣_i⟩}, такой что

Упражнение A.26*. Докажите неравенство Коши — Буняковского (Cauchy — Schwarz inequality) для любых двух векторов |a⟩ и |b⟩:

|⟨a | b⟩| ≤ ║ |a⟩║ ×║ |b⟩║. (A.10)

Покажите, что это неравенство становится равенством в том и только том случае, когда векторы |a⟩ и |b⟩ коллинеарны (т. е. |a⟩ = λ |b⟩).

Подсказка: примите во внимание, что ║|a⟩ — λ |b⟩║² ≥ 0 для любого комплексного числа λ.

Упражнение A.27. Докажите неравенство треугольника для любых двух векторов |a⟩ и |b⟩:

║ (|a⟩ + |b⟩) ║ ≤ ║|a⟩║ + ║|b⟩║. (А.11)

A.5. Сопряженное пространство

Скалярное произведение ⟨a | b⟩ можно вычислить как матричное произведение (A.5) строки и столбца. Если столбец напрямую соответствует вектору |b⟩, то строка получается из столбца, соответствующего вектору |a⟩, путем транспонирования и комплексного сопряжения. Договоримся связывать эту строку с вектором ⟨a|, который будем называть сопряженным (conjugate/adjoint) с |a⟩.

Определение A.14. Для гильбертова пространства 𝕍 определяют сопряженное пространство 𝕍^†, находящееся во взаимно однозначном соответствии с 𝕍, следующим образом: для каждого вектора |a⟩ ∈ 𝕍 существует один и только один сопряженный вектор ⟨a| ∈ 𝕍^†, обладающий свойством

сопр (λ |a⟩ + μ |b⟩) = λ^*⟨a| + μ^* ⟨b|. (A.12)

Упражнение A.28. Покажите, что 𝕍^† — линейное пространство.

Упражнение A.29. Покажите, что если {|𝑣_i⟩} — базис в 𝕍, {⟨𝑣_i|} — базис в 𝕍^† и если вектор |a⟩ раскладывается по базису {|𝑣_i⟩} как |a⟩ = ∑ a_i |𝑣_i⟩, то разложение сопряженного с ним вектора равно

Начинающие квантовые физики иногда забывают про правило сопряжения в уравнении (А.13). Чтобы потренироваться в его использовании, выполним следующее простое упражнение.