Отличная квантовая механика

Упражнение A.30. Найдите матричную форму вектора, сопряженного с |𝑣₁⟩ + i |𝑣₂⟩, в базисе {⟨𝑣₁|, ⟨𝑣₂|}.

«Прямые» и сопряженные векторы иногда называют кет- и бра-векторами соответственно. Эти названия, введенные П. Дираком вместе с символьными обозначениями ⟨| и |⟩, обосновываются тем фактом, что комбинация бра- и кет-векторов вида ⟨a | b⟩ — «скобка» (bracket) — дает скалярное произведение этих двух векторов.

Обратите внимание: 𝕍 и 𝕍^† — разные линейные пространства. Бра-вектор и кет-вектор складывать друг с другом нельзя.

A.6. Линейные операторы

A.6.1. Операции с линейными операторами

Определение A.15.Линейный оператор Â на линейном пространстве 𝕍 — это отображение[136] линейного пространства 𝕍 на себя, такое, что для любых векторов |a⟩, |b⟩ и любого скаляра λ

Â(|a⟩ + |b⟩) = Â|a⟩ + Â|b⟩; (A.14a)

Â(λ|a⟩) = λÂ|a⟩. (A.14b)

Упражнение A.31. Определите, являются ли следующие отображения линейными операторами[137]:

f) Поворот на угол ϕ в линейном пространстве двумерных геометрических векторов (над ℝ).

Определение A.16. Для любых двух операторов их сумма есть оператор, который отображает векторы в соответствии с

Для любого оператора  и любого скаляра λ их произведение λ есть оператор, который отображает векторы в соответствии с

(λÂ)|a⟩ ≡ λ(Â|a⟩). (A.16)

Упражнение A.32. Покажите, что множество всех линейных операторов над гильбертовым пространством размерности N само является линейным пространством, в котором сложение и умножение на скаляр задается уравнениями (A.15) и (A.16) соответственно.

a) Покажите, что операторы и λ являются линейными в смысле определения A.15.

b) Определите, чему равен нулевой элемент и противоположный элемент −Â заданного Â в пространстве линейных операторов.

c) ^§ Покажите, что в пространстве линейных операторов выполняются все аксиомы, введенные в определении A.1.

Определение A.17. Оператор отображающий каждый вектор пространства 𝕍 на самого себя, называется единичным (тождественным) оператором.

Записывая произведение скаляра на единичный оператор, мы иногда опускаем символ — если, конечно, контекст не допускает двусмысленности. К примеру, вместо того, чтобы записать мы можем обойтись просто записью Â − λ.

Определение A.18. Для операторов их произведение есть оператор, отображающий каждый вектор |a⟩ на То есть, чтобы найти действие оператора на вектор, мы должны применить сначала к этому вектору, а затем Â к результату.

Упражнение A.33. Покажите, что произведение двух линейных операторов тоже является линейным оператором.

Порядок, в котором перемножаются два оператора, существенен, поскольку в общем случае Если же для каких-то операторов то говорят, что эти операторы коммутируют. Коммутационные, или перестановочные, соотношения между операторами играют важную роль в квантовой механике и будут подробно обсуждаться в разд. A.9.

Упражнение A.34. Покажите, что операторы поворота против часовой стрелки на угол π/2 и отражения относительно горизонтальной оси в линейном пространстве двумерных геометрических векторов не коммутируют.

Упражнение A.35. Покажите, что перемножение операторов обладает свойством ассоциативности, т. е. для любых трех операторов верно:

A.6.2. Матрицы

Может создаться впечатление, что для полного описания линейного оператора мы должны указать все его действия с каждым вектором. Однако на самом деле это не так. В действительности довольно лишь сообщить, как этот оператор отображает элементы некоторого базиса {|𝑣₁⟩, …, |𝑣_N⟩} в 𝕍, т. е. достаточно знать множество {Â|𝑣₁⟩….,Â|𝑣_N⟩}. Тогда для любого другого вектора |a⟩, который раскладывается в виде

|a⟩ = a₁|𝑣₁⟩ + … + a_N |𝑣_N⟩,

мы имеем, вследствие линейности,

Â|a⟩ = a₁Â|𝑣₁⟩ +…+ a_NÂ|𝑣_N⟩. (A.18)

Как много численных параметров нужно для того, чтобы полностью охарактеризовать линейный оператор? Каждый образ Â|𝑣_j⟩ любого из элементов базиса можно разложить по тому же базису:

Для каждого j множество из N параметров A_1j, …, A_Nj целиком описывает Â|𝑣_j⟩. Соответственно, множество из N² параметров A_ij, где i и j изменяются от 1 до N, содержит полную информацию о линейном операторе.

Определение A.19.Матрицей оператора в базисе {|𝑣_i⟩} называется квадратная таблица N × N, элементы которой задаются уравнением (A.19). Первый индекс в A_ij есть номер строки, второй — номер столбца.

Предположим, к примеру, что вам требуется доказать равенство двух операторов Вы можете сделать это, показав идентичность матриц указанных операторов A_ij и B_ij в любом базисе. Поскольку матрица содержит полную информацию об операторе, этого достаточно. Конечно, базис следует выбирать продуманно, так чтобы матрицы A_ij и B_ij было как можно проще вычислить.

Упражнение A.36. Найдите матрицу оператора Покажите, что она не зависит от выбора базиса.