Отличная квантовая механика

Базис — это наименьшее подмножество линейного пространства, такое, что все остальные векторы можно выразить в виде линейной комбинации элементов базиса.

Термин «базис» может создать ложное впечатление, что в линейном пространстве есть только один базис — подобно тому, как у здания может быть только один фундамент. На самом же деле, как мы увидим далее, в любом нетривиальном линейном пространстве имеется бесконечно много базисов.

Определение A.6. Число элементов в базисе называется размерностью 𝕍. Для нее принято обозначение dim 𝕍.

Упражнение A.6*. Докажите, что в пространстве конечной размерности все базисы имеют одинаковое число элементов.

Упражнение A.7. Используя результат упр. A.6, покажите, что в пространстве конечной размерности:

a) любое линейно независимое множество из N = dim 𝕍 векторов образует базис;

b) любой остовный набор из N = dim 𝕍 векторов образует базис.

Упражнение A.8. Покажите, что для любого элемента 𝕍 существует только одно разложение по векторам заданного базиса.

Определение A.7. Для разложения вектора |a⟩ по базису {|𝑣_i⟩}, т. е. для

Это называется записать вектор в матричной форме — в отличие от формы Дирака (A.1). Скаляры a_i называются коэффициентами или амплитудами разложения[135].

Упражнение A.9. Пусть |a⟩ — один из элементов |𝑣_k⟩ базиса {|𝑣_i⟩}. Найдите матричную форму разложения |a⟩ по этому базису.

Упражнение A.10. Рассмотрите линейное пространство двумерных геометрических векторов. Такие векторы обычно определяются двумя числами (x, y), которые представляют собой их x- и y-компоненты. Соответствует ли эта запись разложению по какому-нибудь базису? Если да, то по какому?

Упражнение A.11. Покажите, что:

a) в линейном пространстве геометрических векторов на плоскости любые два непараллельных вектора образуют базис;

b) в линейном пространстве геометрических векторов в трехмерном пространстве любые три некомпланарных вектора образуют базис.

Упражнение A.12. Рассмотрим линейное пространство двумерных геометрических векторов. Векторы ориентированы по отношению к оси x под углами 0º, 45º, 90º, 180º и имеют длины 2, 1, 3, 1 соответственно. Образуют ли базис пары Найдите разложения вектора по каждому из этих базисов. Выразите эти разложения в матричной форме.

Определение A.8. Подмножество линейного пространства 𝕍, тоже представляющее собой линейное пространство, называется подпространством пространства 𝕍.

Упражнение A.13. В произвольном базисе {|𝑣_i⟩} в линейном пространстве 𝕍 берется подмножество элементов. Покажите, что множество векторов, натянутое на это подмножество, является подпространством пространства 𝕍.

Например, в пространстве трехмерных геометрических векторов любое множество векторов, лежащих в одной плоскости, или любое множество векторов, коллинеарных одной прямой, образуют подпространство.

A.3. Скалярное произведение

Хотя векторы нельзя перемножать между собой как числа, можно определить операцию умножения, которая отобразит любую пару векторов на число. Эта операция обобщает скалярное произведение, известное нам из геометрии.

Определение A.9. Для любых двух векторов |a⟩, |b⟩ ∈ 𝕍 определим скалярное произведение (inner/scalar product, также используется термин overlap) — число ⟨a |b⟩ ∈ ℂ, такое что:

1) для любых трех векторов |a⟩, |b⟩, |c⟩ имеет место равенство ⟨a | (|b⟩ + |c⟩) = ⟨a |b⟩ + ⟨a |с⟩;

2) для любых двух векторов |a⟩, |b⟩ и числа λ имеет место равенство ⟨a | (λ |b⟩) = λ ⟨a |b⟩;

3) для любых двух векторов |a⟩, |b⟩ верно равенство ⟨a |b⟩ = ⟨b | a⟩^*;

4) для любого |a⟩, ⟨a | a⟩ есть неотрицательное действительное число, причем ⟨a | a⟩ = 0 в том и только том случае, если |a⟩ = 0.

Упражнение A.14. В геометрии скалярное произведение двух векторов (где все компоненты действительны) определяется как Покажите, что это определение обладает всеми перечисленными выше свойствами.

Упражнение A.15. Пусть вектор |x⟩ записан в виде линейной комбинации некоторых векторов  Для любого другого вектора |b⟩ покажите, что

Упражнение A.16. Для любого вектора |a⟩ покажите, что ⟨zero| a⟩ = ⟨a |zero⟩ = 0.

Определение A.10. Говорят, что |a⟩ и |b⟩ ортогональны, если ⟨a |b⟩ = 0.

Упражнение A.17. Докажите, что множество ненулевых взаимно ортогональных векторов линейно независимо.

Определение A.11. называют нормой (длиной) вектора. Векторы с нормой 1 называют нормированными. Для заданного вектора |a⟩ величина 𝒩 = 1/║|a⟩║ (т. е. такая, что вектор 𝒩 |a⟩ нормированный) называется нормирующим множителем.