Отличная квантовая механика

Томографию квантового детектора можно рассматривать как упрощенный случай QPT. Здесь вместо черного ящика с квантовым выходом мы имеем детектор — черный ящик с M возможных классических выходных состояний. Цель та же — иметь возможность предсказывать реакцию детектора на произвольное состояние, т. е. определить POVM детектора при помощи изучения его реакций на определенные пробные состояния.

Упражнение 5.88. Некоторый детектор при измерении состояний дает результат j с вероятностями соответственно. Покажите, что при измерении линейной смеси вероятность результата j задается формулой

Упражнение 5.89. Пусть — базис (или остов), определенный в упр. 5.82. Для каждого из его элементов мы провели измерения и получили полные статистические данные по откликам детектора, т. е. где j индексирует выходные состояния детектора. По этим данным определите для произвольной исходной матрицы плотности разложение которой по задается выражением (5.43).

Упражнение 5.90*. В условиях предыдущего упражнения покажите, что (5.39) удовлетворяется, если POVM детектора задается выражением

где λ_nmi — коэффициенты разложения оператора |𝑣_n⟩⟨𝑣_m| по базису пробного состояния согласно (5.47).

Упражнение 5.91. Рассмотрим детектор, показанный на рис. 5.3, в условиях упр. 5.73.

a) Найдите вероятности откликов детектора для четырех состояний из множества:

b) Воспользовавшись этой информацией и (5.51), найдите POVM детектора. Убедитесь, что результат совпадает с результатом упр. 5.73.

Как можно видеть из последнего упражнения, у нас теперь есть алгоритм вычисления POVM детектора не только по экспериментальным данным, полученным в результате измерения пробных состояний, но и теоретический, по физической модели детектора.

5.8. Задачи

Задача 5.1. Найдите представление оператора плотности состояний гармонического осциллятора |α⟩ + |—α⟩ и |α⟩⟨α|—|— α⟩⟨ — α|

a) в базисе Фока;

b) в координатном базисе;

c) в импульсном базисе,

где α и —α суть когерентные состояния. Рассмотрите поведение диагональных и недиагональных элементов в контексте упр. 5.12. Нормированием можно пренебречь.

Задача 5.2. Рассмотрим фотон в ансамбле состояний:

• |ψ₁⟩ = (3 |H⟩ — 4 |V⟩)/5 с вероятностью p₁ = 1/2;

• |ψ₂⟩ = (12 |H⟩ — 5i|V⟩)/13 с вероятностью p₂ = 1/4;

• |ψ₃⟩ = |–45º⟩ с вероятностью p₃ = 1/4.

a) Найдите оператор плотности.

b) Этот ансамбль измеряют в круговом базисе. Найдите вероятности каждого результата, пользуясь приведенным выше словесным описанием и аппаратом матрицы плотности. Убедитесь в согласованности результатов.

Ответ должен быть в численном виде, до третьего знака после запятой.

Задача 5.3. Матрица плотности состояния фотона в каноническом базисе равна

Представьте это состояние как статистическую смесь ортогональных чистых состояний.

Задача 5.4. Алиса и Боб располагают двумя фотонами в состоянии Алиса измеряет свое состояние в каноническом базисе.

a) Какое состояние будет приготовлено в локации Боба в каждом случае?

b) Какова вероятность каждого результата?

c) Предположим, Боб не знает результата измерения Алисы. Используйте результаты пунктов a) и b), чтобы записать статистический ансамбль, описывающий состояние фотона Боба. Найдите соответствующую матрицу плотности в каноническом базисе.

d) Найдите приведенную матрицу плотности фотона Боба, пользуясь формульным аппаратом матриц плотности. Убедитесь, что результат совпадает с результатом пункта c).

e) Повторите пункты a) — c) для случая, когда Алиса производит свое измерение в диагональном базисе. Убедитесь, что приведенная матрица плотности фотона Боба получается та же.

Задача 5.5. Алиса и Боб располагают двумя общими фотонами в состоянии поляризации, матрица которого в каноническом базисе {|HH⟩, |HV⟩, |VH⟩, |VV⟩} есть

a) Напишите матрицу плотности фотона Боба, если у него нет связи с Алисой.

b) Алиса измеряет поляризацию своего фотона в каноническом базисе. Какова вероятность каждого результата и какое состояние будет приготовлено в локации Боба в каждом случае?

c) Алиса измеряет свой фотон при помощи детектора, описанного в упр. 5.63. Какова вероятность каждого результата и какое состояние будет приготовлено в локации Боба в каждом случае?

Задача 5.6. Ансамбль частиц со спином 1/2, находящихся первоначально в состоянии |↑⟩, претерпевает декогеренцию из-за столкновений с буферным газом. Каждое столкновение приводит к полной декогеренции участвовавшей в нем частицы. Предпочтительный с точки зрения декогеренции базис есть Вероятность столкновения для одной частицы в единицу времени равна p. Напишите матрицу плотности как функцию времени:

a) в предпочтительном для декогеренции базисе;

b) в каноническом базисе.

Задача 5.7. Переделайте упр. 5.25 для смеси состояний, которая соответствует спину, направленному вдоль осей x и y с вероятностями 1/3 и 2/3 соответственно. Магнитное поле B направлено вдоль оси z.