Упражнение 5.82.
Пусть — базис в пространстве операторов на нашем гильбертовом пространстве, где каждый элемент соответствует оператору плотности физического состояния. Предположим, что действие процесса на каждое из этих состояний известно. Покажите, что действие процесса на произвольное состояние задается формулойгде λi
— коэффициенты разложения оператора плотности в этот базис:Приведенное упражнение дает нам концепцию метода томографии квантового процесса. Любой базис[130]
в пространстве операторов над гильбертовым пространством может служить множеством пробных состояний, и тогда множество выходных матриц плотности содержит полную информацию о процессе. В следующих упражнениях вы увидите примеры тому на основе физики частицы со спином 1/2.
Упражнение 5.83.
Покажите, что множество матриц плотности — собственные состояния и с собственным значением 1, образуют базис в линейном пространстве всех линейных операторов над кубитным гильбертовым пространством. Выразите произвольное состояние
как смесь (5.42) элементов этого базиса.
Упражнение 5.84.
Рассмотрим процесс частичной декогеренции, изученный нами в подразд. 5.5.1:a) Найдите действие этого процесса на все элементы базиса (5.44).
b) Предположим, что базис (5.44) используется для томографии квантового процесса. Выразив произвольное состояние
как смесь элементов этого базиса, проверьте (5.42) явно.
Эксперимент с QPT дает нам набор матриц плотности Хотя, как мы уже показали, это множество полностью описывает процесс, было бы хорошо получить более компактное и удобное описание — как в случае с операторами плотности и POVM. Попробуем найти способ выразить информацию о процессе в виде тензора процесса
— «суперматрицы» которая при приложении к матрице исходного состояния должна сгенерировать матрицу выходного состояния черного ящика Уравнение (5.46) напоминает умножение матриц (A.20), только суммирование идет по двум индексам. И входящие, и исходящие объекты представляют собой матрицы и имеют по два индекса. А у тензора процесса который переводит одно в другое, целых четыре индекса — это тензор четвертого ранга
, таблица чисел N × N × N × N, которую легко обрабатывать, хранить и передавать.Но для каждого ли квантового процесса существует тензор процесса, и если да, то как его можно найти? Оказывается, ответ относительно прост.
Упражнение 5.85.
Рассмотрим некоторый ортонормальный базис гильбертова пространства {|𝑣n⟩}. Пусть (где i = 1, …, N2) — множество пробных состояний QPT, т. е. остовный набор в пространстве матриц плотности. Тогда каждый оператор |𝑣m⟩⟨𝑣n| можно разложить по этому остову согласногде λnmi
— коэффициенты разложения. Покажите, что выражение (5.46) удовлетворяется, если тензор процесса задается формулой
Упражнение 5.86.
Найдите коэффициенты разложения (5.47), если {|𝑣n⟩} представляет собой канонический базис в кубитовом пространстве, а базис задан выражением (5.44).
Упражнение 5.87.
Воспользуйтесь уравнением (5.48) и результатом упр. 5.84 (a) и 5.86, чтобы найти тензор процесса частичной декогеренции (5.45). Убедитесь, что этот тензор при постановке в (5.46) дает (5.45).Ответ:
где каждая пара (n, m
) обозначает субматрицу 2 × 2, тогда как внутри каждой субматрицы используются индексы (l, k).Данный результат хорошо иллюстрирует смысл тензора процесса. Субматрица в n
-й строке и m-м столбце в правой части выражения (5.49) задает результат процесса E(|𝑣n⟩⟨𝑣m|), соответствующий исходному «состоянию» |𝑣n⟩⟨𝑣m|[131]. Например, исходное состояние декогеренция не затрагивает, так что верхняя левая субматрица совпадает с этим состоянием: Однако если исходное «состояние» то декогерированный выход (верхняя правая субматрица) равен и т. д. Математику, стоящую за этим наблюдением, можно видеть в (5.46): если мы задаем Как видим, теоретический аппарат QPT и тем более ее практическая реализация могут быть сложными и трудоемкими. Чтобы сформировать базис в пространстве операторов над гильбертовым пространством, множество пробных состояний должно содержать N
2 элементов. Для каждого из этих элементов необходимо произвести полную томографию соответствующего выходного состояния и найти множество (N2–1) параметров, определяющих его матрицу плотности. Так что полное число параметров, которые необходимо получить при томографии квантового процесса, пропорционально четвертой степени размерности гильбертова пространства, — а значит, экспериментатору придется проводить в лаборатории не только дни, но и ночи. Хуже того, может оказаться, что требуемый пробный базис должен содержать сложные суперпозиционные состояния, которые трудно или вообще невозможно приготовить существующими методами инженерии квантовых состояний.5.7.3. Томография квантового детектора