Отличная квантовая механика

Упражнение 5.72. Предположим, фотон в начальном состоянии измерен неразрушающим способом при помощи детектора, описанного в упр. 5.63; получен результат H. Примените это же измерение еще раз к состоянию после первого измерения и найдите результирующее состояние, а также вероятность каждого результата.

Завершая обсуждение обобщенных измерений, замечу, что не каждое физическое измерение можно смоделировать как проективное измерение плюс скремблер — пример показан на рис. 5.3. Однако, что весьма примечательно, любой детектор — т. е. любой аппарат, который обеспечивает нас информацией о физической системе, — может быть описан при помощи POVM, т. е. набора неотрицательных операторов, свойства которых согласуются с (5.38), (5.39) и (5.40). Как построить эту POVM, мы покажем в следующем разделе, а пока обратимся к примеру.

Упражнение 5.73. Рассмотрим детектор на рис. 5.3, в котором роль волновой пластинки A играет полуволновая пластинка, расположенная под углом 0° (верхний датчик поляризации измеряет в каноническом базисе), а роль волновой пластинки B — полуволновая пластинка под углом 22,5° (нижний датчик измеряет в диагональном базисе). Неполяризующий светоделитель симметричен, т. е. пропускает и отражает фотоны с равной вероятностью.

a) Предположим, что детектор используется для измерения произвольного состояния с матрицей плотности

Найдите вероятности двух выходных значений детектора, выразив их через ρ_HH, ρ_HV, ρ_VH, ρ_VV.

b) На основании уравнения (5.39) и результата пункта a) найдите POVM этого детектора. Покажите, что сумма элементов POVM представляет собой оператор тождества.

Еще один красивый результат, известный как теорема Наймарка, устанавливает, что для любого множества неотрицательных эрмитовых операторов, таких что можно построить детектор, POVM которого будет равна Доказательство этого утверждения выходит за рамки данного курса, но его можно найти в учебниках по квантовой теории информации[127].

Упражнение 5.74. Некоторый детектор описывается POVM такой что (5.39) выполняется для всех физических состояний

a) ^* Покажите, что каждый есть эрмитов оператор.

b) Покажите, что каждый есть неотрицательный оператор.

c) Докажите, что множество подчиняется (5.38).

Упражнение 5.75. Рассмотрим «детектор», который не дает никакой информации о состоянии квантовой системы — т. е. вероятности его выходных состояний не зависят от состояния исходной квантовой системы. Покажите, что все элементы POVM такого «детектора» пропорциональны оператору тождества.

5.7. Квантовая томография

5.7.1. Томография квантового состояния

Здесь мы еще раз поговорим на тему, которую уже затрагивали в разд. 1.4: о полной характеризации квантовых состояний при помощи измерений. Но теперь мы воспользуемся инструментами, которые освоили в этой главе, — а именно аппаратом матрицы плотности, — чтобы проработать томографию обобщенного квантового состояния, не считая его заранее чистым.

Как мы знаем, полная характеризация состояния требует не просто множественных измерений на множестве копий этого состояния, но и проведения этих измерений в различных базисах. Оценим число базисов, необходимых для полной томографии состояния в заданном гильбертовом пространстве.

Упражнение 5.76. Рассмотрим произвольное состояние в гильбертовом пространстве размерности N.

a) Покажите, что данное состояние может быть полностью описано при помощи N²–1 независимых действительных параметров.

b) Мы проводим проективное измерение множества копий в каком-то конкретном базисе. Покажите, что информация, которую мы получаем при этом измерении, может разместиться в множестве из N — 1 независимых действительных параметров.

Таким образом, наша цель — определить (N²–1) чисел, но измерение в каждом базисе дает нам только (N — 1) чисел. Следовательно, полная томография состояния требует набора статистических данных как минимум в (N²–1)/(N — 1) = N + 1 базисах. На практике выбор базисов диктуется в значительной мере условиями эксперимента, а это означает, что иногда требуется большее их количество. Рассмотрим два примера.

Упражнение 5.77. Выполните упр. 1.15 заново для матриц плотности. Множественные измерения поляризации фотонов, приготовленных в одном и том же состоянии проводятся в каноническом, диагональном и круговом базисах, и определяются все шесть соответствующих вероятностей. Выразите все четыре элемента матрицы через эти вероятности.

Упражнение 5.78*. Покажите, что полная томография состояния поляризации фотонной пары может быть выполнена посредством измерения множества копий этого состояния в каждой из девяти двусоставных комбинаций канонического, диагонального и кругового базисов[128].

Подсказка: это трудоемкий расчет, но его можно упростить, если производить вычисления в правильном порядке.

• Начните с двусоставного канонического базиса: какие элементы матрицы плотности помогает нам определить статистика измерений в этом базисе?