Отличная квантовая механика

Упражнение 5.61. Для неоднородно уширенного спинового ансамбля с неоднородной шириной Δ₀, много большей, чем обратные времена релаксации покажите, что средний магнитный момент элемента ансамбля (упр. 4.76) при нулевой температуре задается выражением

В стационарном базисе этот магнитный момент будет прецессировать вокруг оси z. Поэтому величина эхо-сигнала полностью определяется его горизонтальным компонентом, который снижается с характеристическим временем T₂.

Выполняя это упражнение, вы, возможно, заметили одну тонкость. Чтобы рассчитать спиновый эхо-сигнал, нам пришлось усреднить вектор Блоха по ансамблю, включающему в себя все отстройки. Но состояние, связанное с каждой конкретной отстройкой, само по себе не является чистым (из-за однородной релаксации), а это означает, что оно тоже представляет некоторый ансамбль, как уже говорилось ранее в этой главе.

Мы обращались с этими ансамблями совершенно по-разному. При декогеренции и термализации мы непрерывно усредняли по ансамблю в ходе всей эволюции (см. упр. 5.53), учитывая таким образом в реальном времени влияние этих явлений на спиновое состояние. Но при работе с неоднородно уширенным ансамблем усреднение проводилось только один раз, в конце вычислений. Почему такая разница?

Причина в том, что эти два типа ансамблей порождает разная физика. Однородная релаксация возникает из-за запутывающего взаимодействия между системой и средой. Поскольку среда нам не подконтрольна, мы можем отбрасывать ее (т. е. вычислять частичный след по ней) без потери какой бы то ни было ценной информации; так что состояние системы становится необратимо смешанным. Неоднородное уширение, напротив, вызывается не запутыванием, а небольшой разницей физических условий (и гамильтонианов), в которых эволюционирует каждый спин. Более того, эти условия не меняются со временем. Поэтому эволюция каждого отдельного члена ансамбля полностью предсказуема и обратима. Мы должны отслеживать эту эволюцию без преждевременного усреднения, чтобы иметь возможность предсказать синхронизацию спинов и эхо.

Теперь обратимся ко времени продольной релаксации. Его можно измерить, например, при помощи метода перехода через нуль. Забавно, что в этом методе обращение неоднородного дефазирования не требуется. Идея заключается в том, чтобы сначала перевернуть блоховский вектор термализованного ансамбля при помощи π-импульса. После этого ансамбль будет постепенно термализоваться заново. Блоховский вектор релаксирует из направления вниз к направлению вверх, так что в какой-то момент времени его длина будет равна в точности нулю.

Чтобы измерить длину вектора Блоха после того, как он прорелаксирует в течение некоторого времени t₀, мы применяем π/2-импульс. Тогда блоховский вектор станет горизонтальным и начнет прецессировать вокруг вектора постоянного поля, порождая убывающий сигнал свободной индукции, пропорциональный длине блоховского вектора. Но, если второй импульс применяется в тот момент, когда конец вектора Блоха проходит через начало координат, этот сигнал пропадет.

Упражнение 5.62. Покажите, что при измерении перехода через нуль сигнал свободной индукции пропадет для t₀ = T₁ ln2.

5.6. Обобщенные измерения*

Аппарат операторов плотности обобщает постулат квантовой механики о гильбертовом пространстве, учитывая возможность того, что мы можем не иметь полной информации о квантовом состоянии. Постулат об измерениях можно расширить аналогичным образом, чтобы учесть реалистичные квантовые измерительные устройства.

5.6.1. Реалистичный детектор

Рассмотрим, например, устройство для измерения поляризации, показанное на рис. 1.2a. В идеальном случае оно измеряет поляризацию фотона в каноническом базисе. Предположим, однако, что светоделитель не идеален: он может пропустить некоторую часть вертикальной поляризации и отразить часть горизонтальной. Чтобы учесть эту особенность, мы вводим понятие выходных состояний измерительного устройства — макроскопические (классические) показания, которые устройство может выдавать. В случае измерения поляризации, если считать детекторы идеальными, выходных состояний должно быть два:

• щелкает детектор в пропускающем канале;

• щелкает детектор в отражающем канале.

Далее мы моделируем наше устройство как идеальное проективное измерение в некотором базисе {|𝑣_i⟩}, за которым следует «скремблер» (рис. 5.2). Скремблер представляет собой классическое устройство, функционирующее так: для каждого выхода |𝑣_i⟩ квантового измерения оно случайным образом, с вероятностью μ_ji, выбирает j-е выходное состояние. Затем это состояние отображается детектором.

Упражнение 5.63. Рассмотрим реалистичный детектор поляризации, состоящий из идеального проективного измерения поляризации в каноническом базисе и скремблера, который отображает результаты измерения на выходные состояния, помеченные H и V. Скремблер работает следующим образом: