Отличная квантовая механика

Упражнение 5.50. Вычислите траекторию блоховского вектора из зависящей от времени матрицы плотности, полученной в упр. 5.25, и покажите, что он прецессирует вокруг магнитного поля в соответствии с предсказанием (4.77) классической физики.

Упражнение 5.51. Покажите, что длина блоховского вектора связана с показателем чистоты соответствующего состояния (упр. 5.32) согласно

Подсказка: пусть состояние соответствует спектральному разложению Соотнесите с p.

Упражнение 5.52. Покажите, что любой блоховский вектор длины единственным образом задает соответствующую матрицу плотности.

Резюмируем полученные результаты. Как и в случае с чистыми состояниями, вектор Блоха смешанного состояния соответствует квантовому среднему значению спинового векторного оператора в этом состоянии. Существует взаимно-однозначное соответствие между состояниями (чистыми или смешанными) и блоховскими векторами. Однако блоховские векторы смешанных состояний заканчиваются внутри блоховской сферы, а не на ее поверхности. Чем более смешанным является состояние, тем короче вектор Блоха; полностью смешанное состояние ответствует нулевому вектору в центре сферы Блоха.

5.5. Матрица плотности и магнитный резонанс

В главе 4 мы изучали основы магнитного резонанса. Однако формализм чистого состояния, который мы использовали, был недостаточен для рассмотрения взаимодействия между спинами и средой, или релаксации (однородного дефазирования), которая является существенной частью этого явления. Поскольку релаксация связана с потерей чистоты состояния, ее анализ требует использования операторов плотности.

Существует два первичных механизма релаксации: декогеренция и термализация.

5.5.1. Декогеренция

Декогеренция спиновых состояний вызывается их взаимодействием; по этой причине данный механизм называется спин-спиновой релаксацией. Как обычно и бывает с внутренними степенями свободы (подразд. 2.4.2), предпочтительным для декогеренции является энергетический собственный базис. Когда частицы взаимодействуют между собой, населенности энергетических уровней не меняются, но их энергетические собственные состояния набирают случайные фазы, что ведет к потере когерентности между частицами.

Мы будем изучать релаксацию в отсутствие радиочастотного поля, считая, что оно прикладывается импульсно и, соответственно, декогеренция во время импульсов незначительна. Направим ось z вдоль постоянного поля так что гамильтониан (4.76) примет вид Тогда собственный базис оператора Ŝ_Z становится также собственным базисом нашего гамильтониана и, следовательно, предпочтительным с точки зрения декогеренции базисом[125], что облегчает анализ.

В разделе 5.3 мы выяснили, что декогеренция устраняет недиагональные элементы матрицы плотности. Однако этот результат был получен для единственного декогерирующего объекта. В нашем случае матрица плотности представляет большой ансамбль частиц, и не все они декогерируют одновременно. Следовательно, декогеренция действует на матрицу плотности более сложным образом.

Примем следующую модель. Будем считать, что каждая частица, взаимодействуя со средой, декогерирует очень быстро — по существу, мгновенно. Это влечет за собой потерю недиагональных элементов матрицы плотности, связанной с данной конкретной частицей. Однако вероятность того, что подобное событие произойдет для каждой частицы в пределах определенного малого интервала времени, конечна и пропорциональна длительности этого интервала. Тогда при усреднении по множеству частиц, составляющих ансамбль, недиагональные элементы матрицы плотности будут уходить постепенно.

Упражнение 5.53. Пусть вероятность того, что отдельная частица декогерирует в пределах малого интервала времени Δt, составляет Δt/T₂, где T₂ — постоянная, известная как характерное время декогеренции.

a) Покажите, что в отсутствие эволюции гамильтониана элементы матрицы плотности убывают согласно дифференциальному уравнению

где индекс «decoh» указывает на то, что убывание происходит в результате действия механизма декогеренции.

b) ^§ Покажите, что решение приведенного выше уравнения представляет собой

Такое поведение — постоянность диагональных элементов матрицы плотности и экспоненциальное убывание недиагональных — характерно для декогеренции не только спиновых ансамблей, но и широкого спектра физических ситуаций.

5.5.2. Термализация

Второй механизм — это спин-решеточная релаксация, связанная с тепловым движением ядер. Данный механизм ответствен за приведение спинового состояния в тепловое равновесие со средой — т. е. в состояние с матрицей плотности

где населенности верхнего и нижнего энергетических уровней связаны между собой согласно распределению Больцмана

при отсутствии когерентности между этими уровнями.