Отличная квантовая механика

• если на входе состояние |H⟩, он показывает H с вероятностью 3/4 и V с вероятностью 1/4;

• если на входе состояние |V⟩, он показывает V с вероятностью 2/3 и H с вероятностью 1/3.

Квантовая эффективность равна единице, а число темновых срабатываний пренебрежимо мало. Найдите матрицу скремблера этого детектора.

Упражнение 5.64. Покажите, что для любой матрицы скремблирования где M — полное число выходных состояний детектора.

Число выходных состояний детектора может быть не равно размерности гильбертова пространства. В качестве примера рассмотрим недискриминирующий детектор фотонов (отступление 1.2). У этого детектора два выходных состояния: «щелчок» и «нет щелчка». Со своей стороны, размерность гильбертова пространства, связанного с этими квантовыми измерениями, бесконечна: оно охватывает число фотонных состояний от нуля до бесконечности[126].

Упражнение 5.65. Недискриминирующий детектор характеризуется следующими свойствами:

• темновые события отсутствуют;

• каждый входящий фотон порождает лавину с вероятностью η (квантовая эффективность детектора). Если имеет место хотя бы одна лавина, электронная схема детектора выдает щелчок.

Постройте модель этого детектора в виде проективного измерения в базисе числа фотонов, за которым следует скремблер, и рассчитайте матрицу этого скремблера.

5.6.2. Положительная операторнозначная мера (POVM)

Базис идеального измерения {|𝑣_i⟩} в сочетании с матрицей скремблера μ_ji полностью описывает любой детектор, модель которого изображена на рис. 5.2. Однако, как и во многих других случаях, встретившихся нам в этой книге, квантовые теоретики предпочитают более компактное описание, о котором мы сейчас и поговорим. Для детектора, моделируемого схемой на рис. 5.2, набор операторов

каждый из которых связан с j-м выходным состоянием детектора, где Π_i = |𝑣_i⟩⟨𝑣_i| называют называют положительной операторнозначной мерой (POVM) данного детектора. Измерение, описываемое POVM, называется обобщенным измерением.

Упражнение 5.66. Покажите, что каждый элемент POVM представляет собой неотрицательный эрмитов оператор.

Упражнение 5.67. Определите POVM детекторов, описанных в:

a) упр. 5.63;

b) упр. 5.65.

Ответ:

Упражнение 5.68. Покажите, что для POVM детектора, моделируемого схемой на рис. 5.2,

где M — число элементов POVM.

Упражнение 5.69. Покажите следующее:

a) Когда квантовое состояние измеряют детектором, описываемым некоторой POVM вероятность j-го результата равна

(это расширение правила Борна на обобщенные измерения).

b) Когда при измерении принадлежащей Алисе части двусоставного квантового состояния при помощи детектора, который описывается POVM получается j-й результат, (ненормированное) состояние канала Боба становится равным

Упражнение 5.70. Алиса и Боб имеют пару фотонов в смеси состояний с вероятностью 3/5 и |Ψ₂⟩ = |HV⟩ с вероятностью 2/5. Алиса измеряет свой фотон при помощи детектора, описанного в упр. 5.63, и получает:

a) результат H;

b) результат V;

c) неизвестный результат.

Найдите результирующее состояние фотона Боба:

• с использованием чистого состояния и аппарата проекционных измерений (выразите ответ в виде статистического ансамбля);

• с использованием матрицы плотности и аппарата обобщенных измерений (выразите ответ в виде ненормированной матрицы плотности).

Убедитесь, что ваши ответы согласуются между собой.

Эти результаты показывают, насколько полезна POVM. Сравнивая выражения (5.39) и (5.40) с выражениями (5.13) и (5.19), мы видим, что во многих ситуациях POVM заменяет собой набор проецирующих операторов в математическом описании детектора.

Однако есть одна важная оговорка. POVM может полностью заменить проекторы только для измерений, разрушающих измеряемую квантовую систему (как делают, например, традиционные фотонные детекторы), или в случае, когда нас не интересует состояние системы после измерения. Но если система не разрушается, ее состояние после обобщенного измерения не равно в отличие от проективных измерений, где состояние после измерения (5.12) равно Мы убедимся в этом в следующем упражнении.

Упражнение 5.71

a) Определите оператор плотности состояния после измерения в случае j-го результата измерения, показанного на рис. 5.2. Ответ должен быть выражен через матрицы скремблера и проекционных операторов, определяющих квантовую часть детектора.

b) Примените результат пункта a) к состоянию измеренному детектором, который описан в упр. 5.63. Найдите состояние после измерения для каждого результата. Убедитесь, что эти состояния не равны

Еще одно различие между обобщенными и проективными измерениями состоит в том, что первые неповторимы. Если мы подвергнем состояние полученное в результате проективного измерения, такому же измерению еще раз, то получим так что состояние не изменится. Но в случае обобщенного измерения ситуация складывается иная.