Отличная квантовая механика

• Пусть у Алисы будет канонический базис, у Боба же — диагональный, а затем круговой. Используя элементы матрицы плотности, известные нам после первого шага, определите еще четыре элемента.

• Теперь пусть базис Боба будет каноническим, а базис Алисы — диагональным и круговым. Можно найти еще четыре элемента матрицы.

• Оставшиеся элементы матрицы плотности можно оценить на основе измерений в четырех оставшихся двусоставных базисах.

В упражнении 5.77 размерность гильбертова пространства равна N = 2, а число используемых базисов составляет N + 1 = 3, что совпадает с найденным нами минимальным значением. В упр. 5.78, в свою очередь, N = 4, тогда как число базисов равно девяти. Это означает, что мы можем подумать об оптимизации нашего решения использованием в нем меньшего числа базисов. Однако следует позаботиться и о том, чтобы эти «оптимизированные» базисы не слишком сложно было реализовать в практической экспериментальной установке.

Из упражнения 5.78 мы можем извлечь еще один важный урок. Дело в том, что, хотя двусоставное гильбертово пространство содержит запутанные состояния, полная его томография не требует измерений в запутанных базисах. Иными словами, измерительные приборы Алисы и Боба не обязаны быть связаны между собой квантовой корреляцией. Это, конечно, большое облегчение для экспериментаторов.

5.7.2. Томография квантового процесса

Под квантовым процессом мы понимаем некий черный ящик, выполняющий какую-то обработку квантовых состояний (рис. 5.4). Для исходного состояния выходное состояние процесса обозначается Цель томографии квантового процесса (QPT, quantum process tomography) — получить достаточно информации о черном ящике, чтобы иметь возможность предсказывать его действие на произвольное исходное состояние. Для получения этой информации на вход черного ящика посылают множество копий определенных пробных состояний и производят томографию квантовых состояний на его выходе, чтобы найти для каждого пробного состояния.

В начале этого курса (разд. 1.10) мы узнали, что квантовая эволюция представлена унитарными линейными операторами (где Ĥ — гамильтониан). Однако, как мы вскоре увидим, это не всегда верно для произвольного квантового процесса. Тем не менее начнем обсуждение QPT с черного ящика, о котором a priori известно, что он описывается некоторым линейным оператором.

Упражнение 5.79. Предположим, что процесс описывается линейным оператором Û и для каждого элемента некоторого ортонормального базиса {|𝑣_i⟩} гильбертова пространства известно состояние Û|𝑣_i⟩. Найдите матрицу плотности выходного состояния процесса если задан оператор плотности исходного состояния [129].

Согласно данному результату, чтобы полностью характеризовать процесс, описываемый линейным оператором, достаточно зондировать его состояниями из любого базиса гильбертова пространства.

Однако квантовые процессы являются унитарными операторами только в том случае, когда интересующая нас система не взаимодействует с внешним миром («средой»). Если такое взаимодействие имеет место, система и среда становятся запутанными. Тогда нам, чтобы определить конечное состояние системы, необходимо брать частичный след по среде. Эта необратимая операция делает весь процесс не-унитарным.

Рассмотрим, например, декогеренцию частицы со спином 1/2, для которой предпочтительным является канонический базис. Состояния |↑⟩ и |↓⟩ эта декогеренция не затрагивает: E(|↑⟩⟨↑|) = |↑⟩⟨↑| и E(|↓⟩⟨↓|) = |↓⟩⟨↓|. Однако любая линейная комбинация |ψ⟩ = α|↑⟩ + β|↓⟩ становится статистической смесью: E(|ψ⟩⟨ψ|) = |α|²|↑⟩⟨↑| + |β|²|↓⟩⟨↓|. Если единственной доступной нам информацией является действие процесса на базисные состояния |↑⟩ и |↓⟩, мы не можем отличить этот процесс от единичного процесса

После всего этого может показаться, что томография квантового процесса — задача практически нерешаемая. Взаимодействие систем и сред может быть каким угодно. А поскольку информация о среде недоступна, определить все свойства процесса, измеряя только систему, казалось бы, невозможно. Однако на самом деле, к счастью, это не так, и в следующем упражнении мы в этом убедимся.

Упражнение 5.80. Покажите, что любой процесс должен быть линейным по отношению к матрице плотности, т. е.

Подсказка: воспользуйтесь вероятностной природой оператора плотности (см. упр. 5.22).

Упражнение 5.81. Покажите, что в линейном пространстве всех линейных операторов на гильбертовом пространстве размерности N (см. упр. A.42) можно построить базис, который будет состоять исключительно из операторов плотности физических квантовых состояний.

Подсказка: рассмотрите, например, множество Q, которое включает в себя:

где {|𝑣_k⟩} есть произвольный ортонормальный базис гильбертова пространства.