Отличная квантовая механика

Задача 5.8. Два электрона, спины которых первоначально находятся в состоянии есть собственное состояние с собственным значением связанном с фиктивными наблюдателями Алисой и Бобом, взаимодействуют с гамильтонианом

a) Найдите эволюцию |Ψ (t)⟩ спинового состояния электронов в каноническом базисе.

b) Алиса измеряет проекцию спина своего электрона на ось z в момент времени t. Найдите вероятности возможных результатов и состояние, в котором это измерение приготовит электрон Боба в каждом случае. На основании этой информации определите ансамбль, описывающий состояние электрона Боба, если тот не знает результата измерения Алисы. Из этого описания получите матрицу плотности электрона Боба в каноническом базисе.

c) Повторите пункт b) для случая, когда Алиса измеряет проекцию спина своего электрона на ось x.

d) Найдите оператор плотности электрона Боба как функцию времени, используя частичный след. Убедитесь, что ваш результат идентичен тому, который был получен в пунктах b) и с).

e) Вычислите траекторию вектора Блоха для спина электрона Боба и постройте ее графически.

f) Найдите чистоту состояния для спина электрона Боба в зависимости от времени. Проверьте, что она связана с длиной блоховского вектора в соответствии с (5.23).

Задача 5.9. Для двумодового сжатого состояния (3.186a) вычислите матрицу плотности части Боба.

Подсказка: чтобы вычислить частичный след в условиях непрерывной переменной, замените суммирование в формуле (5.18) на интегрирование.

Задача 5.10. Найдите тензор процесса однородной релаксации, имеющей как продольный (T₁), так и поперечный (T₂) компоненты.

Задача 5.11. Проанализируйте следующую методику измерения времени продольной релаксации:

•  возбуждения применяется к термализованному спиновому ансамблю, чтобы направить вектор Блоха вдоль оси y.

• С течением времени блоховские векторы различных спинов распределятся по экватору из-за неоднородного дефазирования. В то же время они будут испытывать продольную и поперечную релаксацию. Продольная релаксация приведет к возникновению z-компонента у среднего блоховского вектора.

• Через время t₀ ≫ T₂* применяется еще один Появившийся у блоховского вектора z-компонент теперь направлен вдоль оси y и может вызвать спад свободной индукции.

Вычислите средний магнитный момент спина после второго импульса возбуждения как функцию времени t, промежутка между импульсами возбуждения t₀, а также продольной и поперечной постоянных времени данного образца.

Задача 5.12. Вычислите POVM недискриминирующего детектора, описанного в упр. 5.65, с учетом темнового счета. Темновая лавина возникает с вероятностью p_dark независимо от прочих лавин, которые могут иметь место в детекторе в то же время.

Задача 5.13. Рассмотрите поляризационный детектор, описанный в упр. 5.63, учитывая квантовую эффективность η = 0,8. В случае, когда ни в одном из фотонных детекторов в ответ на входящий фотон не возникает лавины, детектор показывает «0».

a) Вычислите POVM.

b) Найдите вероятность каждого результата для исходного состояния α|H⟩ + β|V⟩.

Задача 5.14. Рассмотрите двумодовое оптическое состояние:

где индексы A и B обозначают моды, а состояние записано в базисе Фока (например, состояние |1⟩_A ⊗ |0⟩_B соответствует одному фотону в моде A и вакууму в моде B).

a) Мода B отбрасывается. Чему равен оператор плотности состояния в моде A?

b) Мода B подвергается измерению при помощи недискриминирующего однофотонного детектора с квантовой эффективностью η, описанной в упр. 5.65. Чему равен оператор плотности состояния в моде A в случае щелчка?

c) Повторите пункт b) для случая, когда начальное состояние не является чистым, но описывается матрицей плотности:

Задача 5.15. В устройство измерения поляризации, состоящее из поляризующего светоделителя и двух идеальных фотонных детекторов, влез гномик, который с вероятностью 1/2 вставляет перед PBS полуволновую пластинку с оптической осью, ориентированной под углом π/4. Найдите POVM этого детектора.

Задача 5.16. Над квантовым процессом E на поляризационном кубите был проведен эксперимент по томографии квантового процесса. Он выявил следующие преобразования пробных состояний:

|H⟩ → 1/4 |H⟩⟨H| + 3/4 |V⟩⟨V|;

|V⟩ → 3/4 |H⟩⟨H| + 1/4 |V⟩⟨V|;

|+⟩ → |+⟩⟨+|;

|R⟩ → 1/2 |H⟩⟨H| + 1/2 |V⟩⟨V| + i/4 |H⟩⟨V|—i/4 |V⟩⟨H|.

a) Найдите тензор процесса такой что

b) Как этот процесс преобразует состояния |—⟩, |L⟩, p|H⟩⟨H| + (1 — p) |—⟩⟨ — |?

c) Этот процесс может быть описан как декогеренция в некотором предпочтительном базисе. Что это за базис?

Приложение А. Основы линейной алгебры

A.1. Линейные пространства