Отличная квантовая механика

Линейные пространства состоят из элементов, называемых векторами. Векторы — это абстрактные математические объекты, но, как подсказывает название, их можно представлять себе в виде геометрических векторов. Как и обычные числа, их складывают друг с другом и вычитают один из другого с образованием новых векторов; их также можно умножать на числа. Однако векторы нельзя перемножать или делить друг на друга, как это делают с числами.

Одной из характерных черт линейной алгебры, используемой в квантовой механике, является применение так называемой нотации Дирака для векторов. При обозначении вектора, вместо того чтобы записать, к примеру, мы пишем |a⟩. Почему такая нотация оказывается удобной, станет ясно чуть позже.

Определение A.1.Линейным (векторным) пространством 𝕍 над полем[132] 𝔽 называется множество, в котором определены следующие операции:

1. Сложение: для любых двух векторов |a⟩, |b⟩ ∈ 𝕍 существует единственный вектор в 𝕍, который называется их суммой и обозначается |a⟩ + |b⟩.

2. Умножение на число («скаляр»): для любого вектора |a⟩ ∈ 𝕍 и любого числа λ ∈ 𝔽 существует единственный вектор в 𝕍, который называется их произведением и обозначается λ |a⟩ ≡ |a⟩ λ.

Эти операции подчиняются следующим аксиомам:

1. Коммутативность сложения: |a⟩ + |b⟩ = |b⟩ + |a⟩.

2. Ассоциативность сложения: (|a⟩ + |b⟩) + |c⟩ = |a⟩ + (|b⟩ + |с⟩).

3. Существование нуля: существует элемент 𝕍, называемый |zero⟩, такой, что для любого вектора |a⟩ выполняется |a⟩ + |zero⟩ = |a⟩[133].

4. Существование противоположного элемента: для любого вектора |a⟩ существует другой вектор, обозначаемый —|a⟩, такой что |a⟩ + (—|a⟩) = |zero⟩.

5. Дистрибутивность векторных сумм: λ (|a⟩ + |b⟩) = λ |a⟩ + λ |b⟩.

6. Дистрибутивность скалярных сумм: (λ + μ) |a⟩ = λ |a⟩ + μ |a⟩.

7. Ассоциативность скалярного умножения: λ (μ |a⟩) = (λ μ) |a⟩.

8. Унитарность скалярного умножения: для любого вектора |a⟩ и числа 1 ∈ 𝔽 выполняется 1 ∙ |a⟩ = |a⟩.

Определение A.2.Вычитание векторов в линейном пространстве определяется следующим образом:

|a⟩ — |b⟩ ≡ |a⟩ + (— |b⟩).

Упражнение A.1. Какие из следующих пространств являются линейными (над полем комплексных чисел, если не оговорено иначе):

a) ℝ над ℝ? ℝ над ℂ? ℂ над ℝ? ℂ над ℂ?

b) Полиномиальных функций степени ≤ n? > n?

c) Всех функций, таких что 𝑓(1) = 0? 𝑓(1) = 1?

d) Всех периодических функций с периодом T?

e) N-мерных геометрических векторов над R?

Упражнение A.2. Докажите следующее:

a) в линейном пространстве существует только один нуль;

b) если |a⟩ + |x⟩ = |a⟩ для некоторого |a⟩ ∈ 𝕍, то |x⟩ = |zero⟩;

c) для любого вектора |a⟩ и числа 0 ∈ 𝔽 верно равенство 0 |a⟩ = |zero⟩;

d) —|a⟩ = (–1) |a⟩;

e) —|zero⟩ = |zero⟩;

f) для любого |a⟩ вектор —|a⟩ единственный;

g) — (—|a⟩) = |a⟩;

h) |a⟩ = |b⟩ тогда и только тогда, когда |a⟩ — |b⟩ = 0.

Подсказка: большинство этих утверждений можно доказать путем прибавления одного и того же числа к обеим частям уравнения.

A.2. Базис и размерность

Определение A.3. Говорят, что множество векторов |𝑣_i⟩ является линейно независимым, если ни одна нетривиальная[134] линейная комбинация λ₁|𝑣₁⟩ + … + λ_N|𝑣_N⟩ не равняется |zero⟩.

Упражнение A.3. Покажите, что множество векторов {|𝑣_i⟩} не является линейно независимым тогда и только тогда, когда один из векторов |𝑣_i⟩ может быть представлен в виде линейной комбинации других.

Упражнение A.4. Для линейных пространств геометрических векторов покажите следующее.

a) В пространстве векторов на плоскости (обозначаемой ℝ²) любые два вектора линейно независимы в том и только том случае, если они не параллельны. Любое множество из трех векторов линейно зависимо.

b) В пространстве векторов в трехмерном пространстве (обозначаемом ℝ³) любые три вектора, не лежащие в одной плоскости (не компланарные), образуют линейно независимое множество.

Подсказка: вспомните, что геометрический вектор можно определить его компонентами x, y и z.

Определение A.4. Подмножество {|𝑣_i⟩} векторного пространства 𝕍 является для 𝕍 остовом (или остовным набором — spanning set), если любой вектор в 𝕍 можно выразить как линейную комбинацию векторов |𝑣_i⟩. Множество всех линейных комбинаций элементов некоторого множества {|𝑣_i⟩} называется натянутым на {|𝑣_i⟩}.

Упражнение A.5. Для линейного пространства геометрических векторов на плоскости покажите, что любое множество, состоящее по меньшей мере из двух векторов, из которых по крайней мере два не параллельны друг другу, образует остов.

Определение A.5.Базисом 𝕍 называется любой линейно независимый остов. Разложением вектора по базису называется его выражение в виде линейной комбинации элементов базиса.