Отличная квантовая механика

Упражнение 5.54. Поле в медицинском МРТ-сканере, где используются спины протонов, составляет 1,5 Тесла. Вычислите среднюю разницу между долями протонов в состояниях «спин-вверх» и «спин-вниз» при комнатной температуре в условиях теплового равновесия.

Упражнение 5.55. Найдите величину и направление блоховского вектора соответствующего (5.26).

Ответ (в декартовых координатах):

По той же логике, что и выше, мы считаем, что диагональные элементы экспоненциально убывают и сходятся к своим тепловым значениям, т. е.

где T₁ — характерное время термализации.

Упражнение 5.56§. Покажите, что спад (5.28) соответствует следующим дифференциальным уравнениям:

Введем соглашение. Конечно, термализация действует не только на диагональные элементы матрицы плотности, но и на недиагональные ее элементы, вызывая их экспоненциальный спад. Однако мы будем рассматривать этот спад как часть процесса декогеренции, так что уравнение (5.24) включает в себя вклад термализации в спад недиагональных элементов. Поэтому мы будем писать дифференциальное уравнение для термализации матрицы плотности в виде

не забывая о том, что термализация недиагональных элементов учитывается в уравнении для декогеренции.

Очевидным следствием этого соглашения является то, что T₂ не может быть больше T₁: недиагональные элементы убывают под действием как декогеренции, так и термализации, а диагональные — только термализации. Фактически спины, как правило, декогерируют намного быстрее, чем термализуются, так что T₂ ≪ T₁. Ткани человеческого мозга, например, имеют T₁ ~ 1 с и T₂ ~ 0,1 с.

В других физических условиях, однако, T₂ может достигать значения 2T₁. Это возможно, если механизм термализации отличается от механизма декогеренции, т. е. если он не может быть смоделирован как постепенное примешивание состояния теплового равновесия к спиновому ансамблю. Такие ситуации часто встречаются, к примеру, в двухуровневых системах, соответствующих оптическим переходам в атомах и молекулах. В упр. 5.60 мы покажем, что условие T₂ ≤ 2T₁ должно выполняться всегда, в противном случае эволюция приведет к нефизичному оператору плотности.

5.5.3. Релаксация и вектор Блоха

Общая эволюция матрицы плотности есть результат совокупного действия и гамильтониана, и релаксации. Она задается выражением

где первый член соответствует уравнению Шрёдингера (5.7), а второй и третий — декогеренции и термализации (5.24) и (5.30) соответственно. А теперь применим этот результат к эволюции вектора Блоха.

Упражнение 5.57. Покажите, что поведение компонентов вектора Блоха, соответствующих уравнению (5.31), есть

Управление 5.58. Покажите, что следующее решение удовлетворяет уравнению (5.32) для гамильтониана в приближении вращающейся волны (4.85) в отсутствие радиочастотного поля со спином, отстроенным на Δ от частоты вращающейся волны.

Упражнение 5.59§. Постройте траекторию конца вектора Блоха в условиях упр. 5.58 для:

a) Δ ≠ 0, T₁ = 0, T₂ = 0;

b) Δ = 0, T₂ = T₁/10;

c) Δ = 0, T₂ = 2T₁;

d) Δ = 5T₁^–1, T₂ = 2T₁.

Считаем, что температура T = 0. Начальное состояние соответствует спину, указывающему вдоль оси x.

Ответ: см. рис. 5.1.

Мы видим, что декогеренция заставляет горизонтальные (x и y) компоненты блоховского вектора экспоненциально убывать, тогда как вертикальный (z) его компонент стремится к значению, которое соответствует тепловому равновесию. По этой причине исторически сложилось, что термализацию диагональных элементов матрицы плотности иногда называют продольной (longitudinal) релаксацией, тогда как потеря недиагональных элементов из-за декогеренции называется поперечной релаксацией. Мы видим, что эта терминология не совсем уместна; здесь больше подошли бы термины «вертикальная» и «горизонтальная» соответственно.

Упражнение 5.60*. Покажите, что T₂ не может быть больше 2T₁.

Подсказка: примите, что температура — абсолютный нуль. Примените эволюцию (5.32) на бесконечно малом временнóм промежутке во вращающемся базисе к вектору Блоха с полярными координатами (θ, 0), такими что θ ≪ 1.

Теперь, когда мы понимаем, как обращаться с релаксацией, мы готовы вернуться к вопросу, который рассматривался в конце главы 4: измерению времени релаксации. Как там говорилось, это измерение важно для приложений, связанных с магнитно-резонансным сканированием, потому что позволяет различать между собой ткани человеческого тела. Однако однородная релаксация часто теряется на фоне неоднородного уширения, которое происходит намного быстрее.

Поэтому для измерения времени поперечной релаксации используют спиновое эхо. В подразд. 4.7.4 мы провели предварительные расчеты, чтобы понять, какие физические принципы стоят за обращением неоднородного дефазирования, которое, собственно, и порождает эхо. Наша следующая задача — учесть эффекты однородной релаксации.