Отличная квантовая механика

a) вычислив эволюцию каждого компонента (чистого состояния) отдельно, а затем получив матрицу плотности ансамбля;

b) вычислив матрицу плотности начального ансамбля, а затем проследив ее эволюцию согласно (5.8);

c) решив уравнение (5.7) в матричном виде.

5.2. След

След оператора Â равен сумме диагональных элементов его матрицы:

Следы играют важную роль, поскольку выражают действие измерений на квантовые состояния в случаях, когда эти состояния записаны в виде матриц плотности. Прежде чем разбирать этот вопрос подробно, вспомним некоторые существенные свойства следа, известные нам из линейной алгебры, и выведем несколько новых его свойств, значимых именно в квантовой физике.

Упражнение 5.26. Покажите, что след оператора одинаков во всех ортонормальных базисах.

Этим объясняется, почему мы говорим «след оператора», а не «след матрицы». Один и тот же оператор будет иметь разные матрицы в разных ортонормальных базисах, но сумма диагональных элементов во всех этих матрицах будет одинакова.

Упражнение 5.27. Покажите, что след оператора плотности, представляющего какое-либо физическое состояние, равен единице.

Упражнение 5.28§. Операторы характеризуются матрицами A_ij и B_ij соответственно в одном и том же ортонормальном базисе. Покажите, что

Упражнение 5.29. Покажите, что для любых операторов:

a)

b) Tr(Â₁…Â_k) = Tr(Â_kÂ₁…Â_k-1) (цепное правило — chain rule).

Упражнение 5.30. Найдите пример, показывающий, что в общем случае

Упражнение 5.31. Для оператора Â и векторов |ψ⟩ и |ϕ⟩ покажите, что

Упражнение 5.32. Покажите, что след квадрата матрицы плотности полезен в качестве меры степени чистоты состояния. В частности, для физического состояния покажите, что где первое неравенство становится равенством тогда и только тогда, когда представляет полностью смешанное состояние, а второе — тогда и только тогда, когда описывает чистое состояние.

Теперь давайте переформулируем постулат квантовой механики об измерениях на языке матриц плотности.

Упражнение 5.33. Пусть проективное измерение в базисе {|𝑣_m} выполняется на ансамбле и выдает некоторый результат |𝑣_m⟩. Покажите, что:

Упражнение 5.34. При помощи уравнения (5.12) определите вероятность обнаружения поляризации +45° у фотона, описанного каждым из ансамблей упр. 5.1. Убедитесь, что ваши результаты согласуются с вероятностями, которые получатся, если рассматривать каждое состояние как статистический ансамбль чистых состояний.

Упражнение 5.35. Состояние представлено в базисе {|𝑣_m⟩} матрицей

Предположим, что это состояние измеряется в том же базисе {|𝑣_m⟩}. Измерение неразрушающее, но его результат нам неизвестен. Покажите, что матрица плотности после измерения будет иметь вид

То есть недиагональные элементы матрицы плотности после измерения исчезнут, а диагональные останутся прежними.

Подчеркну, что это простое правило действует только в том случае, если матрица плотности записана в том же самом базисе, в котором производится измерение. Проиллюстрируем это на примере.

Упражнение 5.36. Фотон, поляризованный под +45°, измеряется в каноническом базисе. Найдите матрицу плотности до и после измерения:

a) в каноническом базисе;

b) в диагональном базисе.

Упражнение 5.37. Покажите, что среднее значение любого наблюдаемого в состоянии равно

Упражнение 5.38. Пользуясь аппаратом матриц плотности в представлении Шрёдингера, а именно уравнениями (5.7) и (5.16), воспроизведите уравнение движения Гейзенберга (3.129) для среднего значения произвольного наблюдаемого:

5.3. Частичный след

Вернемся теперь к вопросу, который заинтересовал нас в главе 2. Предположим, что у Алисы и Боба имеется общее состояние представляющее собой матрицу плотности над гильбертовым пространством тензорных произведений. Алиса либо теряет свою часть состояния, либо измеряет ее в некотором базисе, но не сообщает Бобу результат. Какой станет часть состояния, принадлежащая Бобу? Или, формулируя вопрос на языке, который мы только что изучили, чему будет равен оператор плотности состояния Боба [иногда такой оператор называют приведенным оператором плотности (reduced density operator) Боба]?

Частичным следом (partial trace) двусоставного состояния над гильбертовым пространством 𝕍_A является оператор в гильбертовом пространстве 𝕍_B, определяемый формулой

где {|𝑣_m⟩} — ортонормальный базис в 𝕍_A.

Упражнение 5.39. У Алисы и Боба имеется общее состояние Алиса производит локальное измерение в базисе {|𝑣_m⟩} над своей частью ансамбля. Покажите, что:

a) если известен конкретный результат измерения Алисы |𝑣_m⟩, то результирующее (ненормированное) двусоставное состояние описывается выражением а относящаяся к Бобу часть этого состояния равна

b) если результат измерения Алисы неизвестен, то приведенный оператор плотности состояния Боба представляет собой частичный след