Отличная квантовая механика

Определенный оператор плотности необязательно представляет уникальный ансамбль, что станет очевидным из следующего упражнения.

Упражнение 5.5. Покажите, что следующие статистические ансамбли представляются одним и тем же оператором плотности:

• |H⟩ с вероятностью 1/2, |V⟩ с вероятностью 1/2;

• |+⟩ с вероятностью 1/2, |—⟩ с вероятностью 1/2;

• |R⟩ с вероятностью 1/2, |L⟩ с вероятностью 1/2;

• |θ⟩ с вероятностью 1/2, |π/2 + θ⟩ с вероятностью 1/2.

Разные ансамбли, описываемые одним оператором плотности (как в примере выше), демонстрируют идентичное физическое поведение, так что принципиально невозможно определить при помощи измерений, с каким из ансамблей мы имеем дело. Следовательно, по крайней мере некоторая часть информации, содержащейся в описании ансамбля как списка состояний и вероятностей, избыточна. Это дополнительный аргумент в пользу того, чтобы применять вместо такого описания матрицу плотности.

В дальнейшем мы будем использовать термин «состояние» как для чистых состояний (pure states), которые можно связать с каким-то конкретным элементом |ψ⟩ гильбертова пространства, так и статистических ансамблей, описываемых оператором плотности. Если состояние не является чистым и его оператор плотности нельзя записать в виде мы будем называть его смешанным (mixed).

Упражнение 5.6. Покажите, что ансамбль (5.1) с двумя или более ненулевыми слагаемыми с неравными |ψ_i⟩ не может соответствовать чистому состоянию.

Управление 5.7. Какие из состояний в упр. 5.1 являются чистыми?

Особый статус среди смешанных состояний принадлежит полностью смешанным, оператор плотности которых равен (где N — размерность гильбертова пространства). Как станет ясно из следующего упражнения, если система находится в полностью смешанном состоянии, это значит, что о данной квантовой системе нет вообще никакой информации.

Упражнение 5.8. Покажите, что если полностью смешанное состояние измеряется в любом ортонормальном базисе, то вероятность каждого результата составляет 1/N.

Упражнение 5.9. Покажите, что все состояния в упр. 5.5 полностью смешанные.

Упражнение 5.10. Для подпространства, соответствующего орбитальному квантовому числу l = 1, найдите матрицу плотности каждого из собственных состояний наблюдаемого с собственными значениями ℏ, 0 и —ℏ. Затем найдите матрицу плотности смеси этих состояний с вероятностью 1/3 для каждого. Покажите, что результат — полностью смешанное состояние.

Подсказка: воспользуйтесь результатом упр. 4.27.

5.1.2. Диагональные и недиагональные элементы

Упражнение 5.11. Покажите, что диагональные элементы матрицы плотности некоторого физического состояния в любом базисе:

a) действительны и неотрицательны;

b) в сумме дают единицу.

Упражнение 5.12*. Для каждого недиагонального элемента ρ_mn матрицы плотности покажите, что:

а) верно неравенство

|ρ_mn|² ≤ ρ_mm ρ_nn, (5.3)

b) неравенство (5.3) становится равенством для всех элементов матрицы плотности тогда и только тогда, когда соответствующее состояние является чистым.

Из последнего упражнения, а также из упр. 5.2 видно, какие разные роли играют диагональные и недиагональные элементы матрицы плотности. Диагональные элементы показывают вероятности обнаружения системы в соответствующих базисных состояниях. Недиагональные же демонстрируют, до какой степени соответствующие элементы базиса находятся в состоянии суперпозиции или статистической смеси — иными словами, степень когерентности между этими элементами (см. подразд. 2.4.2). Вот пример.

Упражнение 5.13§. Найдите матрицы плотности следующих состояний спина электрона в каноническом спиновом базисе:

Ответ:

Все эти состояния содержат равные доли компонентов «спин-вверх» и «спин-вниз», поэтому во всех трех случаях диагональные элементы матрицы плотности одинаковы и равны 1/2. Однако первые два из приведенных состояний чистые, а третье — полностью смешанное. Соответственно, первые два состояния имеют значительные недиагональные элементы, тогда как третье таких элементов не имеет.

Упражнение 5.14§. Для частицы со спином 3/2 найдите матрицы плотности следующих состояний:

Ответ:

Это несколько более хитроумный пример. Здесь, сравнивая случаи c) и d), мы видим, что недиагональные элементы, ответственные за когерентность между состояниями |ψ⟩ и |ϕ⟩, присутствуют в матрице плотности суперпозиции, но в матрице плотности смеси их нет. При этом в матрице плотности d) недиагональные элементы ρ₁₂, ρ₂₁, ρ₃₄, ρ₄₃, возникающие из-за когерентности внутри отдельных состояний |ψ⟩ и |ϕ⟩, не исчезают, хотя это состояние и представляет собой смесь. В случае d) неравенство (5.3) превращается в равенство для некоторых, но не для всех, недиагональных элементов

Упражнение 5.15. Покажите, что оператор плотности является эрмитовым.