Отличная квантовая механика

После второго импульса Рамзея измеряется населенность двух атомных уровней. Полученные данные показывают, насколько частота генератора радиочастотного поля, выдающего импульсы Рамзея, отклонилась от частоты атомного перехода. Затем эта частота подстраивается при помощи механизма обратной связи.

4.8. Задачи

Задача 4.1. Найдите общий вид коммутатора Проверьте свой ответ на конкретных примерах: и

Задача 4.2. Выведите дифференциальный оператор (4.26) для квадрата момента импульса из выражения для лапласиана в сферических координатах, известного из курса дифференциального исчисления:

а также из выражений (4.22), (4.27) и (4.28).

Задача 4.3. Из выражений (4.25) для компонентов момента импульса в сферических координатах выведите эти компоненты в декартовых координатах (4.20).

Задача 4.4. Покажите, что для компонентов момента импульса, выраженных как дифференциальные операторы:

a) в декартовых координатах;

b) в сферических координатах.

Задача 4.5*. Выполните упр. 4.4 в сферических координатах и проверьте согласованность результата с решением в декартовых координатах.

Задача 4.6. Для l = 3/2:

a) найдите матрицы в явном виде;

b) убедитесь, что эти матрицы подчиняются

c) определите коммутаторы в матричном виде и убедитесь, что они согласуются с известными коммутационными соотношениями для компонентов момента импульса.

Задача 4.7. Обобщите упр. 4.28 на подпространство с произвольной l. Рассмотрите собственное состояние |lm_θϕ⟩ наблюдаемого (которое представляет собой проекцию на вектор с собственным значением mℏ. Найдите средние значения в этом состоянии и покажите, что они пропорциональны проекциям вектора на соответствующие координатные оси.

Подсказка: измените систему отсчета на (x′, y′, z′), где новая ось z′ параллельна и выразите через

Задача 4.8. Считая радиус протона r_p ~ 10^–15 м, оцените долю времени, которую электрон в состоянии |1, 0, 0⟩ проводит внутри ядра. Как изменится ваш ответ, если электрон заменить на мюон (мюон имеет тот же заряд, что электрон, и массу M_μ = 207 M_e)? Почему мюонные атомы считаются полезными для изучения ядерной структуры?

Задача 4.9. Рассмотрим два объекта с состояниями момента импульса |l₁, m₁ = l₁⟩ и |l₂, m₂ = l₂⟩. Покажите, что состояние тензорного произведения |l₁, m₁ = l₁⟩ ⊗ |l₂, m₂ = l₂⟩ представляет собой собственное состояние операторов с собственными значениями, соответствующими l = m = l₁ + l₂.

Подсказка: выразите

Задача 4.10. Как мы знаем, операторы повышения и понижения соответственно увеличивают и уменьшают собственное значение на ℏ. Постройте аналогичные операторы которые будут повышать и понижать собственные состояния Считая l = 1:

a) найдите матрицы в каноническом базисе;

b) найдите собственные состояния в матричном виде;

c) примените к этим собственным состояниям и убедитесь, что их действие аналогично действию на собственные состояния (с точностью до произвольного фазового множителя, который может возникнуть случайным образом при определении собственных состояний

Задача 4.11. Электрон в атоме водорода приготовлен в состоянии, которое одновременно является собственным для следующих наблюдаемых:

• энергии с собственным значением ~ —(13,6/4) эВ,

• квадрата орбитального момента импульса с собственным значением 2ℏ²,

• проекции орбитального момента импульса на ось x с собственным значением ℏ.

Напишите волновую функцию этого состояния.

Задача 4.12. Найдите математическое ожидание и дисперсию наблюдаемых в состояниях

a) |2, 1, 0⟩,

b) |2, 1, 1⟩

атома водорода.

Задача 4.13. Рассматривая земной шар как сферу Блоха, напишите в каноническом базисе спиновое состояние, соответствующее вашему городу. Гринвичский меридиан соответствует φ = 0.

Задача 4.14. Для произвольного спинового состояния ψ_↑|↑⟩ + ψ_↓|↓⟩ выразите декартовы компоненты соответствующего блоховского вектора через ψ_↑ и ψ_↓.

Задача 4.15. Линейно поляризованные фотоны с разными углами поляризации α проходят сквозь четвертьволновую пластинку, оптическая ось которой ориентирована:

a) горизонтально;

b) под 45º.

Найдите положение результирующих состояний на блоховской сфере.

Задача 4.16. Рассмотрим эволюцию спинового состояния частицы со спином 1 под действием постоянного магнитного поля ориентированного вдоль оси x. Начальное состояние |ψ(0)⟩ = |m_s = 1⟩.

a) Найдите спиновое состояние |ψ(t)⟩ в зависимости от времени в матричном виде в собственном базисе

b) Найдите средние значения и убедитесь, что они согласуются с тем, что ожидалось бы в классическом варианте.

c) Состояние |ψ(t)⟩ измерено с использованием прибора Штерна — Герлаха с магнитным полем, ориентированным вдоль оси y. Найдите вероятность того, что наша частица окажется в каждой из трех этих точек. Согласуются ли величины, найденные в моменты, соответствующие 1/4 и 3/4 периода Лармора, с тем, чего следовало бы ожидать, исходя из пункта b)?