Отличная квантовая механика

Одна из множества проблем магнитно-резонансной томографии состоит в том, что приготовить все спины в одинаковом начальном состоянии трудно. До включения радиочастотных импульсов спины протонов находятся в тепловом равновесии с окружающей средой, а это означает, что между плотностями протонов в состояниях со спинами «вверх» и «вниз» наблюдается лишь небольшая разница (упр. 5.54). В ходе эволюции блоховские векторы этих групп протонов будут ориентированы противоположно, и излучаемые ими сигналы в значительной степени компенсируют друг друга. В этом смысле налицо отличие от атомной физики (упр. 4.47), где энергетическая разница между уровнями, а значит, и различие в их населенности намного выше.

Упражнение 4.76. В условиях упр. 4.75, после истечения времени t₀ ≫ 1/Δ₀, ансамбль подвергается действию очень короткого π-импульса. Рассчитайте средний магнитный момент во вращающемся базисе в зависимости от времени t > t₀. Релаксацией пренебречь.

Ответ:

Явления релаксации, которыми мы пренебрегли в данном расчете, ведут к ослаблению эхо-сигнала с ростом t₀. Измерив действие, которое производит изменение t₀ на силу эха, можно измерить характерное время релаксации.

Еще одной крупной областью применения магнитного резонанса является метрология времени. Предположим, нам нужно узнать в точности, попадает ли наше радиочастотное поле в резонанс со спиновым переходом. Это можно сделать при помощи метода, известного как спектроскопия Рамзея.

Упражнение 4.77. Рассмотрите следующую процедуру, совершаемую над спином, который первоначально находился в состоянии |↑⟩.

1. Подается короткий импульс площадью π/2. Частота Раби выбирается такая, что Ω ≫ Δ, поэтому мы можем пренебречь отстройкой во время импульса и считать площадь импульса равной в точности π/2.

2. Радиочастотное поле выключается на время t, так что атом свободно эволюционирует.

3. Подается еще один импульс площадью π/2.

4. Измеряется населенность состояний |↑⟩ и |↓⟩.

Покажите, что конечная вероятность обнаружения частицы в состоянии |↓⟩ ведет себя как |ψ↓|² = cos²Δt/2. Решите задачу во вращающемся базисе двумя способами:

1) используя геометрию, чтобы проследить поведение вектора Блоха в зависимости от времени;

2) рассчитав матрицу оператора эволюции, задаваемую двумя импульсами и периодом свободной эволюции.

Преимущество метода Рамзея состоит в том, что в период свободной эволюции двухуровневую систему «не тревожат», оптимизируя тем самым ее точность как стандарта частоты (отступление 4.8).

Явление биений Рамзея (Ramsey fringes) может показаться парадоксальным. Зависимость конечной населенности от Δt возникает в результате свободной эволюции атома в период, когда радиочастотное поле выключено. Как может отстройка поля, которое выключено, повлиять на экспериментально измеряемую величину?

Ответ заключается в том, что отстройка радиочастотного поля определяет разность фаз двух импульсов π/2 по отношению друг к другу. Как мы выяснили в упр. 4.73, эта разность имеет принципиальное значение для конечной населенности энергетических уровней. При решении упр. 4.77 мы использовали один и тот же оператор для двух импульсов, что можно делать только в том случае, если оба импульса «вырезаны» из волны, описываемой уравнением (4.79). Другими словами, обе фазы жестко привязаны к единому «хронометру» cos ωt, который работает в течение всего эксперимента. Отстройка частоты этого хронометра сдвинула бы эти фазы, а следовательно, и повлияла бы на результат измерения конечной населенности.

Отступление 4.8. Атомные часы

В атомных часах в качестве «маятника» работает узкополосный, стабильный и воспроизводимый атомный переход. Например, определение секунды привязано к частоте, соответствующей переходу между двумя сверхтонкими уровнями основного состояния атома цезия-133. Секунда определена таким образом, что частота перехода ΔE/2πħ, где ΔE — энергетическая разность между уровнями, равна в точности 9 192 631 770 Гц.

На фотографии (источник: Wikipedia) можно видеть атомные часы на цезиевом фонтане NIST F1 в Колорадо — главный стандарт времени и частоты в США во время написания данной книги. Относительная неопределенность этих часов составляет 3,1 × 10^–16, что соответствует примерно одной секунде за 100 млн лет. В часах используется спектроскопия Рамзея. Атомы цезия собираются и охлаждаются до миллионных долей кельвина в магнито-оптической ловушке, а затем «подбрасываются» вверх при помощи лазерного луча. В ходе свободного падения они подвергаются действию двух импульсов Рамзея, разделенных периодом свободного падения длительностью 0,56 с. Использование свободного падения гарантирует, что энергии атомных уровней не тревожатся в ходе экспериментального цикла. В постоянном поле нет необходимости, потому что расщепление энергетического уровня присутствует здесь само по себе.