Отличная квантовая механика

Двухуровневая система обладает ограниченной энергией: собственным состоянием с максимальной энергией для нее является состояние «спин-вниз». Какой бы высокой ни была прикладываемая мощность радиочастотного поля, оно не может еще сильнее повысить энергию системы; система насыщается (saturates). Гармонический же осциллятор имеет бесконечно много энергетических уровней и потому не насыщается: когда мы разгоняем его сильнее, он отвечает тем, что переходит во все более высокие энергетические состояния. Соответственно, он не демонстрирует никакого полевого уширения[120].

Упражнение 4.70. Найдите эволюцию спинового состояния |ψ(t)⟩ под действием гамильтониана (4.85), начиная с начального состояния |ψ (0)⟩ = |↑⟩. Найдите вероятности состояний «спин-вверх» и «спин-вниз» в зависимости от времени, частоты Раби и отстройки. Согласуйте ваш результат с тем, что получен в упр. 4.69, и с рис. 4.10b.

Подсказка: воспользуйтесь упр. 4.62, c).

Упражнение 4.71*. Найдите гамильтониан вращающейся волны для ситуации, в которой радиочастотное поле задается B_rf cos (ωt + β), где β — произвольная фаза, и направлено:

a) вдоль оси x;

b) вдоль оси y.

Найдите координаты вектора соответствующего фиктивного магнитного поля. Покажите, что, если rf-частота резонансна с двухуровневым переходом, это поле всегда горизонтально.

Ответ: фиктивное магнитное поле дается вектором

Упражнение 4.72. Напишите уравнение Шрёдингера в стационарном базисе для радиочастотного поля, направленного вдоль оси z. Покажите, что в этом случае переходов между состояниями спина «вверх» и «вниз» не будет.

4.7.3. Площадь импульса

В предыдущем разделе мы видели, что резонансное радиочастотное поле с частотой Раби, равной Ω, действующее на протяжении времени t, поворачивает вектор Блоха на угол Ωt. Во многих практических приложениях (см., например, отступление 4.7) резонансное радиочастотное поле применяется импульсно, так что его амплитуда и, следовательно, частота Раби зависят от времени: Ω = Ω (t). Такой импульс повернет блоховский вектор на угол ∫Ω(t)dt. Эта величина известна как площадь импульса[121]. Понятие площади импульса удобно, потому что представляет собой единственный параметр, который полностью описывает действие этого импульса на спин; необязательно знать точную форму импульса, если известен его интеграл.

Так, применение импульса площадью π/2 к состоянию «спин-вверх» переведет его в состояние со спином, указывающим вдоль оси y, Если мы подействуем на это же состояние еще одним импульсом площадью π/2, мы получим состояние «спин-вниз». Вместе эти два импульса составят импульс площадью π, действие которого переворачивает блоховский вектор относительно оси x[122].

Если радиочастотное поле включается импульсно, получение макроскопической площади импульса требует относительно высокой частоты Раби. Тогда нам не нужно беспокоиться о точной настройке радиочастотного поля, коль скоро Ω ≫ Δ верно для большей части длительности импульса (но мы по-прежнему должны следить за соблюдением Ω ≪ Ω₀). Тогда фиктивное магнитное поле (4.87) почти горизонтально, и эффект отстройки пренебрежимо мал.

Упражнение 4.73. Первоначально частица находится в состоянии «спин-вверх». Она подвергается действию импульса площадью π/2, за которым следует еще один импульс π/2, в котором фаза радиочастотного поля сдвинута на угол β. Найдите итоговую населенность состояния «спин-вниз» в зависимости от β. Интерпретируйте свой результат для β = 0 и β = π.

4.7.4. Приложения магнитного резонанса

Пусть мы имеем большой набор (ансамбль) частиц со спином приготовленных первоначально в состоянии |↑⟩ вдоль постоянного магнитного поля. Если мы применим к этому ансамблю импульс площадью π/2, спины перейдут в горизонтальное положение. По окончании импульса, если постоянное поле по-прежнему присутствует, они начнут прецессировать вокруг оси z с частотой Ω₀.

Упражнение 4.74. Короткий импульс площадью π/2 применяется к частице, находившейся сначала в состоянии «спин-вверх», и заканчивается в момент t = 0. Вычислите средние значения трех декартовых компонентов наблюдаемого магнитного момента при t > 0:

a) во вращающемся базисе;

b) в стационарном базисе.

Прецессирующий магнитный момент будет излучать электромагнитное поле с частотой прецессии. Это поле, амплитуда которого пропорциональна горизонтальному компоненту блоховского вектора, может быть обнаружено при помощи обыкновенного радиоприемника, давая нам доступ к важной информации о веществе, в которой находятся спины. Поговорим о свойствах этого излучения.