Отличная квантовая механика

Упражнение 4.64. Напишите гамильтониан и дифференциальные уравнения для шрёдингеровой эволюции спинового состояния частицы |ψ (t)⟩ в базисе (|↑⟩, |↓⟩).

Ответ:

Уравнения (4.81) аналогичны тем, с которыми мы имели дело, когда изучали квантовую эволюцию в любом двумерном гильбертовом пространстве (см., например, упр. 1.47). Но теперь коэффициенты в правой части зависят от времени. Это сильно усложняет расчеты. Однако при B_rf ≪ B₀ и вблизи резонанса существует элегантное приближенное решение. В качестве первого шага в его разработке определим новый, зависимый от времени, базис в нашем гильбертовом пространстве:

По причине, которая станет очевидной в следующем упражнении, этот базис называется вращающимся (rotating basis). Обозначим коэффициенты разложения состояния |ψ⟩ во вращающемся базисе как

Первоначальный канонический базис {|↑⟩, |↓⟩} будем называть стационарным.

Упражнение 4.65. Покажите, что векторы Блоха в стационарном и вращающемся базисах[117] связаны поворотом на угол ωt вокруг оси z.

Мы знаем, что в отсутствие радиочастотного поля блоховский вектор в стационарном базисе прецессирует вокруг магнитного поля с ларморовой частотой Ω₀. Во вращающемся базисе блоховский вектор прецессирует много медленнее, с угловой скоростью Ω₀ — ω.

Упражнение 4.66. Покажите, что уравнения (4.81), записанные для принимают вид

где Δ = ω — Ω₀ есть отстройка (detuning) радиочастотного поля от резонанса.

До сих пор наши вычисления были точными. Но теперь пришла пора использовать важный прием, известный как приближение вращающейся волны (rotating wave approximation). Мы пренебрежем быстро осциллирующими членами, содержащими e^±2iωt, в правой части уравнений (4.84). Довод в пользу этого заключается в том, что на периоде колебаний 2π/ω эти члены усредняются к нулю, т. е. их действие становится пренебрежимо малым по сравнению с остальными членами, которые не колеблются. Данное приближение применимо, если Δ ≪ ω,Ω₀ и B_rf ≪ B₀.

Отступление 4.5. Нефизичная природа гамильтониана вращающейся волны

Имея в виду, что стационарный и вращающийся базисы связаны между собой комплексным фазовым сдвигом (4.82), мы могли бы ожидать, например, что Но это равенство, очевидно, не согласуется с матрицами стационарного и вращающегося гамильтонианов, задаваемыми (4.80) и (4.85) соответственно: H_↑↑ = ℏΩ₀/2, тогда как Откуда же берется такое расхождение? Приближение вращающейся волны не может быть ответом на этот вопрос, поскольку оно меняет только недиагональные элементы гамильтониана, но не диагональные.

На самом деле причина в том, что мы можем выразить уравнение Шрёдингера в матричном виде, таком как (1.32), только для статического, не зависящего от времени базиса. Лишь в этом случае мы можем написать, к примеру, что Если базис зависит от времени, то нам придется учесть также производную элемента базиса по времени, так что приведенное уравнение не будет верным. Но при выводе матрицы гамильтониана вращающейся волны (4.85) из эволюции (4.84) мы этим пренебрегли, обращаясь с вращающимся базисом как со статическим.

В результате гамильтониан вращающейся волны нефизичен, или фиктивен: он не представляет реального наблюдаемого энергии[118]. В частности, элемент его матрицы не равен математическому ожиданию полного гамильтониана Ĥ. Тем не менее H_RWA дает верное математическое описание (4.84) эволюции спинового состояния. Если наша цель — найти эту эволюцию, мы можем не беспокоиться о физике гамильтониана вращающейся волны, а просто использовать его как формальный инструмент для теоретического разбора.

Упражнение 4.67. Покажите, что в приближении вращающейся волны эволюция, определенная уравнениями (4.84), такая же, как и под действием гамильтониана

где Ω = γB_rf/2 называется частотой Раби.

Мы видим, что во вращающемся базисе и в приближении вращающейся волны эволюция, вызванная изменяющимся во времени полем, описывается постоянным гамильтонианом, и это сильно облегчает расчеты. Кроме того, как мы сейчас увидим, данный гамильтониан дает нам следующий способ представить себе эту эволюцию наглядно.

Отступление 4.6. Осцилляции Раби и фотоэлектрический эффект

Фотоэлектрический эффект представляет собой эмиссию свободных электронов с поверхности, на которую падает свет. Он обладает следующими характерными свойствами, установленными экспериментально:

• Кинетическая энергия испускаемых электронов зависит от длины волны света, но не зависит от его интенсивности.

• Электроны испускаются только в том случае, если длина волны ниже определенного порогового значения.