Отличная квантовая механика

Эти свойства, не укладывающиеся в рамки классической физики, объяснил в 1905 г. Эйнштейн при помощи понятия кванта света. Согласно данному объяснению, энергия фотона ℏω, поглощенная поверхностью, частично уходит на преодоление потенциала U, привязывающего электрон к поверхности, которой он принадлежит; остаток (K = ℏω — U) становится кинетической энергией фотоэлектрона. Из этого следует, что только свет с ℏω ≥ U может высвобождать фотоэлектроны.

Интуитивно понятная природа объяснения Эйнштейна и прекрасное совпадение его с экспериментальными данными сыграли существенную роль в единодушном признании квантовой теории физическим сообществом. Нобелевской премии Эйнштейн был удостоен в 1921 г. в первую очередь именно за это открытие.

Квантовая физика двухуровневых систем, которую мы здесь изучаем, допускает альтернативное объяснение фотоэлектрического эффекта. Переходы между энергетическими уровнями в веществе из-за действия резонансных электромагнитных полей управляются теми же законами, что и в магнитном резонансе. Когда (классическая) волна с частотой ω находится в резонансе с переходом между связанным состоянием энергии — U и состоянием с энергией K свободного электрона в непрерывном спектре, между двумя этими состояниями возникают осцилляции Раби. Как только электрон оказывается в суперпозиции связанного и несвязанного состояний, он может наблюдаться в несвязанном состоянии и коллапсировать именно на это состояние, демонстрируя таким образом фотоэлектрический эффект.

Итак, для объяснения фотоэлектрического эффекта нет необходимости привлекать фотоны. Достаточно рассмотреть вещество квантово, а электромагнитную волну — классически.

Упражнение 4.68. Покажите, что гамильтониан с матрицей, идентичной (4.85), получается в ситуации, когда спин помещается в постоянное магнитное поле величиной

Мы видим, что гамильтониан вращающейся волны можно интерпретировать как возникающий благодаря постоянному магнитному полю, ориентированному под определенным углом. Разумеется, это поле тоже нефизично, поскольку выводится из фиктивного гамильтониана (отступление 4.5); оно не имеет никакого отношения к реальному полю (4.79). Тем не менее представление о нем очень удобно, поскольку позволяет непосредственно применять полученные в предыдущем разделе результаты для квантовой эволюции спина в постоянном магнитном поле к задаче магнитного резонанса.

4.7.2. Эволюция в приближении вращающейся волны

Как мы выяснили в упр. 4.61, поведение вектора Блоха в магнитном поле идентично классическому. Это означает, что его эволюция во вращающемся базисе под действием гамильтониана (4.85) состоит в прецессии вокруг фиктивного поля (4.87), как показано на рис. 4.10a.

В случае точного резонанса, Δ = 0, фиктивное поле имеет абсолютную величину Ω/γ и направлено вдоль оси x, так что траектория блоховского вектора представляет собой меридиан, пересекающий ось y. Прецессия происходит с угловой скоростью γB = Ω. Соответственно, населенности[119] состояний со спинами, ориентированными вверх и вниз, будут колебаться синусоидально с частотой Раби. Это явление известно как осцилляции Раби (Rabi oscillations — см. отступление 4.6).

Отстройка радиочастотного поля от резонанса (так, чтобы Δ ≠ 0) имеет двоякий эффект (рис. 4.10a,b). Во-первых, частота осцилляций Раби будет увеличиваться за счет слагаемого Δ² в абсолютной величине фиктивного поля (4.86). Во-вторых, направление этого поля перестает быть горизонтальным. Если траектория начинается в состоянии «спин-вверх», то она уже не будет доходить до южного полюса сферы Блоха, так что мы никогда не сможем наблюдать состояние «спин-вниз» со 100 %-ной вероятностью.

Упражнение 4.69. Найдите максимальную вероятность pr↓_max наблюдения состояния «спин-вниз» за цикл Раби в зависимости от отстройки частоты Δ. Цикл начинается в состоянии «спин-вверх».

Подсказка: хотя эту задачу можно решить путем вычисления шрёдингеровой эволюции под действием гамильтониана (4.85) (и мы сделаем это в следующем упражнении), ответить на данный вопрос намного проще, если внимательно рассмотреть геометрию сферы Блоха.

Ответ:

Теперь понятно, почему это явление называется «резонанс». Лоренцева форма кривой (4.88) (рис. 4.10c) очень похожа на отклик механического гармонического осциллятора или электронного колебательного контура на действие периодического внешнего воздействия. Но обратите внимание на важное различие: в случае гармонического осциллятора ширина резонанса определяется коэффициентом затухания, но не зависит от возбуждающего поля. Ширина магнитного резонанса, напротив, пропорциональна частоте Раби, т. е. амплитуде радиочастотного поля. Это явление называется полевым уширением и характерно для двухуровневых систем.