Отличная квантовая механика

Действие момента силы на этот момент импульса равно Воспользовавшись (4.65) и (4.67), получаем

Как мы знаем из классической механики, решение дифференциального уравнения (4.68) есть прецессия рамки вокруг направления магнитного поля с угловой частотой

Ω_L = γB, (4.69)

известной как частота Лармора.

Упражнение 4.53. Пара электронов, общая для Алисы и Боба, приготовлена в запутанном спиновом состоянии

Алиса измеряет проекцию спина своего электрона на вектор определенный сферическими углами (θ, φ). Найдите вероятность каждого возможного результата этого измерения и результирующее состояние электрона Боба. Где находится это состояние и результат соответствующего измерения Алисы на сфере Блоха?

4.6. Магнитный момент и магнитное поле

4.6.1. Момент импульса и магнитный момент

Многие элементарные частицы электрически заряжены, поэтому наличие у них момента импульса подразумевает, что их электрический заряд движется по кругу. Это движение порождает магнитный момент, который может взаимодействовать с внешними магнитными полями (отступление 4.4). Такое взаимодействие имеет широкий спектр применений — от квантовой информатики до медицины.

Упражнение 4.54. Для классического движения точечной частицы с массой M и зарядом e по круговой орбите с моментом импульса покажите, что гиромагнитное отношение[113] задается формулой

Хотя мы получили этот результат классическими методами, он остается верным и в квантовом мире — с той поправкой, что квантовое гиромагнитное отношение включает в себя безразмерный множитель, известный как g-фактор:

Этот множитель зависит от природы движения. Если момент импульса возникает только из-за орбитального движения, g = 1 (так что квантовое выражение совпадает с классическим). Для спина электрона он равен 2,0023, для протона — 5,5857.

Для спина g-фактор может быть выведен теоретически при помощи методов релятивистской квантовой электродинамики. Для наглядного понимания можно вообразить вращающийся электрон не совсем точечной, но конечного размера частицей. Масса и заряд распределяются по объему электрона по-разному: если масса сосредоточена больше в центре частицы, то заряд распределен по ее периферии. В результате отношение между магнитным моментом и механическим моментом импульса выше, чем можно было бы ожидать для частицы с одинаковым распределением массы и заряда.

Упражнение 4.55. Для заряженной частицы с орбитальным или спиновым моментом импульса покажите, что:

a) проекция магнитного момента на ось z квантуется согласно

μ_z = ℏγm; (4.72)

b) энергетические собственные значения под действием постоянного магнитного поля B равны

E_m = —ℏΩ_L = —ℏγBm, (4.73)

где m — соответствующее магнитное или спиновое квантовое число, а Ω_L — частота Лармора (4.69).

Расщепление энергетического уровня в магнитном поле, которое мы обнаружили в части (b), называется эффектом Зеемана (рис. 4.6). В атомной и ядерной физике он встречается повсеместно.

Если в упражнении выше момент импульса является орбитальным, то, используя (4.70), мы видим, что квант проекции магнитного момента на ось z равен

Для электрона (M = M_e) эта величина называется магнетоном Бора. Она равна 5,8 × 10^–9 эВ/Гаусс = 9,3 × 10^–24 Дж/Тл.

Упражнение 4.56§. Убедитесь, что данные в последней колонке табл. 4.3 согласуются с данными в других колонках.

4.6.2. Прибор Штерна — Герлаха

Частица с магнитным моментом, помещенная во внешнее магнитное поле, обладает потенциальной энергией, задаваемой уравнением (4.66). Если магнитное поле меняется в зависимости от координаты, данная потенциальная энергия имеет градиент, который проявляется как сила Пользуясь (4.66), мы можем переписать это выражение в виде Если мы определим ось z так, чтобы она была направлена вдоль магнитного поля, то результат упростится до

Величина этой силы пропорциональна проекции ее магнитного момента на направление поля.

Подобное наблюдение можно использовать, чтобы измерять компоненты вектора квантового момента импульса. Прибор Штерна — Герлаха[114] оснащен постоянным магнитом такой формы, что поле, которое он порождает, существенно неоднородно. Когда частица движется сквозь это поле, она испытывает действие силы и отклоняется от своего первоначального направления. О поведении частицы можно судить благодаря чувствительному экрану, помещенному за магнитом (рис. 4.7).

Поскольку магнитный момент пропорционален моменту импульса, прибор Штерна — Герлаха, по существу, измеряет компонент момента импульса вдоль направления поля. Так как значения этого компонента квантованы, частица должна попадать в дискретные точки на экране-мишени. Например, свободный электрон может попасть в две точки, соответствующие В контексте спин-поляризационного изоморфизма (разд. 4.5) измерение z-проекции спина электрона прибором Штерна — Герлаха эквивалентно измерению поляризации фотона в каноническом базисе при помощи поляризующего светоделителя (разд. 1.4).