Отличная квантовая механика

Упражнение 4.43. Для состояния |n, l = n — 1, m⟩ с произвольным главным квантовым числом n:

a) Вычислите радиальную волновую функцию.

b) Вычислите среднее значение и дисперсию расстояния между электроном и ядром.

c) Сравните ваш результат с результатом, полученным из модели Бора (упр. 4.41).

Атомы в состояниях с высокими главными квантовыми числами называются ридберговскими. Мы видим, что эти атомы очень большие по размеру: радиус орбитали электрона растет как квадрат n. Например, в состоянии с n = 137 водород имеет атомный радиус ~1мкм. Ридберговские атомы имеют много интересных свойств, которые делают их объектом интенсивных исследований, особенно в приложении к квантовой информатике.

Упражнение 4.44. Найдите математическое ожидание и неопределенность наблюдаемых в состоянии |1, 0, 0⟩.

Упражнение 4.45. Определите без вычислений, какие из матричных элементов наблюдаемых в обнуляются.

Подсказка: матричные элементы имеют вид с волновыми функциями, заданными (4.57). Воспользуйтесь симметриями сферических гармоник, чтобы определить, четной или нечетной функцией является подынтегральное выражение, и найдите, как она зависит от φ.

Упражнение 4.46. Вычислите необнуляющиеся элементы матрицы из упр. 4.45 в явном виде.

Предыдущие два упражнения позволяют нам определить, какие переходы между соответствующими состояниями в атоме водорода могут иметь место благодаря взаимодействию с оптическим полем. К примеру, они сообщают нам, можно ли атом в состоянии |1, 0, 0⟩ возбудить до состояния |2, 1, 1⟩ при помощи резонансного лазера, поляризованного вдоль оси x, или, напротив, может ли атом в состоянии |2, 1, 1⟩ испустить фотон, поляризованный вдоль x, и перейти в состояние |1, 0, 0⟩. Дело в том, что механизм взаимодействия свет — атом реализуется через связь между электрическим полем и атомным электрическим диполем, который имеет вид Сила этого взаимодействия определяется величиной матричного элемента дипольного момента, связанного с соответствующим переходом.

4.4.3. Периодическая система элементов

Периодический закон, открытый Дмитрием Менделеевым в 1869 г., гласит, что химические свойства элементов проявляют периодическую зависимость от заряда их атомных ядер[109]. Мы можем до некоторой степени понять периодический закон, обобщив физику атома водорода на другие элементы.

В нормальном состоянии атомы нейтральны, так что электронов в них столько же, сколько и протонов. Водород имеет один протон и один электрон, гелий по два того и другого, литий по три и т. д. Когда число электронов в атоме больше одного, они начинают взаимодействовать друг с другом, и задача вычисления их волновых функций и энергетических уровней становится неразрешимой. Поэтому мы для начала будем считать, что электроны не взаимодействуют друг с другом. Разумеется, это сильное упрощение, но оно позволит нам установить «в нулевом приближении» базис для дальнейшего обсуждения.

Есть два фундаментальных принципа, которые мы должны принять во внимание. Первый — это принцип минимума энергии. Электроны, как правило, должны занимать состояние (или одно из состояний) с минимальной возможной энергией (основное состояние — ground state). Этот принцип следует из статистики Больцмана: если атом находится в тепловом равновесии со средой, вероятность его нахождения в состоянии с энергией E пропорциональна e^{— E/kT}, где k — постоянная Больцмана, а T — температура среды. Коль скоро kT ≪ E₁ — E₀ (где E₁ — E₀ есть разность энергии между первым возбужденным энергетическим состоянием и основным состоянием), вероятность найти атом в возбужденном состоянии низка.

Упражнение 4.47. Оцените вероятность того, что атом водорода самопроизвольно возбудится до состояния с n = 2 при комнатной температуре.

Подсказка: не забудьте учесть вырожденность энергетических уровней.

Если бы многоэлектронные атомы управлялись исключительно принципом минимальной энергии, то все электроны находились бы на энергетическом уровне с n = 1. Однако этого не допускает принцип запрета Паули (Pauli exclusion principle). Как мы обнаружили в упр. 4.39, энергетический уровень [или оболочка (shell), сказали бы химики] n = 1 вмещает всего два электрона. Если атом имеет больше двух электронов, то оставшиеся будут вытеснены на оболочку n = 2, которая вмещает 8 электронов, n = 3 вмещает 18 электронов, и т. д. Чем выше атомный номер, тем больше оболочек в атоме заполнено.