Отличная квантовая механика

Недостатком модели Бора была ее чисто эмпирическая природа. Хотя эта модель и объясняла экспериментальные результаты, физика, лежащая в ее основе, оставалась загадкой. Некоторый свет на эту физику пролил Луи де Бройль в 1924 г. Он примирил модель Бора с концепцией материальной волны (см. отступление 3.2 и упр. 4.42). В последующие годы модель атома претерпела множество доработок, самую известную из которых осуществил Вольфганг Паули в 1926 г., и постепенно приобрела современный вид, который мы сегодня и изучаем.

До сих пор мы считали, что ядро является бесконечно тяжелым, так что электрон движется в стационарном потенциальном поле (4.42). Но учесть конечную массу ядра тоже несложно. Как нам известно из классической механики, задача двух тел может быть сведена к задаче о движении единственной частицы в системе отсчета, связанной с центром масс, приведенная масса (reduced mass) которой

где M_e и M_p в нашем случае массы покоя электрона и ядра (протона). Эта приведенная масса меньше массы электрона на 1/1836.

Уравнение (4.56), устанавливающее энергетические уровни атома водорода, может быть записано в виде

есть постоянная Ридберга. Это одна из наиболее значительных и наиболее точно измеренных фундаментальных физических констант. Поскольку водород во Вселенной встречается всюду, его излучение приходит на Землю от самых разных астрономических объектов. Часть этого излучения возникла на ранних стадиях существования Вселенной. Измеряя его спектр, мы можем выяснить, изменилось ли значение постоянной Ридберга и, следовательно, фундаментальные законы физики за время жизни Вселенной.

Упражнение 4.40. Используя постулат Бора о том, что переход между атомными уровнями сопровождается поглощением или излучением фотона, энергия которого равна разнице между энергиями уровней, выведите уравнение (известное как формула Ридберга) для длин волн линий, наблюдаемых в спектре водорода:

Отступление 4.3. Открытие Бальмера

Открытие формулы Ридберга достойно отдельного рассказа. Частный случай при n₁ = 2, n₂ ≥ 3 открыл Иоганн Бальмер еще в 1885 г., почти за 30 лет до рождения модели Бора (отступление 4.2). Примечательно, что Бальмер даже не был физиком; он преподавал математику в швейцарской школе. Очевидно, в качестве хобби Бальмер изучал данные о солнечном спектре, которые опубликовал в 1868 г. Андерс Йонас Ангстрём. Эти данные включали в себя следующий набор линий, которые приписывались атомарному водороду:

656,3 нм

486,1 нм

434,0 нм

410,2 нм

Движимый исключительно глубокой убежденностью в том, что миром правит математическая гармония, Бальмер занялся ее поиском и нашел в этом наборе чисел закономерность. Его выражение для этой закономерности было похоже на (4.61), за исключением того, что n₁ равнялось двум. Тремя годами позже, в 1888 г., шведский физик Иоганн Ридберг узнал о формуле Бальмера и обобщил ее, распространив на другие значения n₁.

Понятно, что серия линий, которая теперь носит имя Бальмера, была открыта первой потому, что она целиком лежит в пределах видимого спектра. Примерно через 20 лет Теодор Лайман и Фридрих Пашен измерили две серии, соответствующие n₁ = 1 и n₁ = 3, в ультрафиолетовом и инфракрасном диапазонах соответственно. Обе эти серии прекрасно легли в формулу Ридберга.

Оцените численно диапазоны экспериментально наблюдаемых длин волн переходов серий Лаймана (n₂ = 2, 3, 4, … → n₁ = 1), Бальмера (n₂ = 3, 4, 5, … → n₁ = 2) и Пашена (n₂ = 4, 5, 6, … → n₁ = 3) (рис. 4.4).

Упражнение 4.41. Воспроизведите результат (4.56) для энергетического спектра водорода, пользуясь полуклассической теорией Бора (отступление 4.2). Считая электрон точечным объектом, обращающимся по круговой орбите радиуса r вокруг протона, получите соотношение между орбитальным радиусом и скоростью, исходя из того, что центростремительное ускорение объясняется электростатическим притяжением протона. Затем сведите это соотношение с (4.58) в Отступлении 4.2, чтобы найти параметры орбиты в зависимости от n и определить соответствующие кинетическую и потенциальную энергии.

Упражнение 4.42. Воспроизведите результат (4.56), используя уравнение де Бройля (3.28) в Отступлении 3.2.

Два последних упражнения могут навести на мысль, что полноценная квантовая теория в том виде, в каком она использовалась в предыдущем подразделе, необязательна для описания атома водорода; те же результаты можно получить гораздо более простыми способами. Но на самом деле подходы, предложенные Бором и де Бройлем, имеют ситуативную природу: они дают верную формулу, описывающую одно конкретное наблюдение, но не могут использоваться для надежного предсказания результатов любого другого эксперимента. Даже в пределах физики атома водорода диапазон возможных вопросов выходит далеко за рамки простого перечисления спектральных линий. Ответы на эти вопросы можно найти при помощи квантовой механики, но не методами Бора и де Бройля.