Отличная квантовая механика

где мы воспользовались разложением экспоненты в ряд Тейлора. Как нам известно, волновая функция, которая стремится к бесконечности, нефизична.

Для предотвращения этого мы должны потребовать, чтобы ряд был конечен. Данное условие выполняется, если множитель перед A_j в (4.49) обнуляется при некотором j = n. В этом случае

и все A_j при j > n обнуляются.

Упражнение 4.38. Вычислите радиальные волновые функции R_nl (r) атома водорода при

a) n = 1, l = 0;

b) n = 2, l = 0;

c) n = 2, l = 1.

Пронормируйте эти волновые функции согласно

Подсказка:

Ответ (рис. 4.3):

Теперь мы понимаем физический смысл боровского радиуса: он определяет характерный размер волновых функций энергетических собственных состояний, а также примерный радиус орбитали основного состояния.

4.4.2. Энергетический спектр и переходы

Объединяя уравнения (4.48) и (4.51), получаем

Этот результат отмечает важную веху: мы рассчитали энергетический спектр атома водорода[106].

Интересно, что, хотя радиальные волновые функции зависят от орбитального квантового числа l, энергетические собственные значения (4.56) от него не зависят, а определяются верхним пределом n суммы (4.47). Поэтому n называется главным квантовым числом.

Каждый энергетический уровень, обозначаемый величиной n, вырожден по отношению к орбитальному квантовому числу l, которое может принимать любое целое значение от 0 до n — 1. Но реальная вырожденность энергетических уровней еще выше. Чтобы убедиться в этом, вспомним, что волновая функция (4.43) электрона в атоме водорода имеет в дополнение к радиальной угловую часть. Угловая часть волновой функции зависит от магнитного квантового числа m, которое не влияет на энергию. Кроме того, каждый электрон имеет спиновую степень свободы, соответствующую двумерному гильбертовому пространству.

Упражнение 4.39. Покажите, что степень вырождения энергетического уровня с главным квантовым числом n равна 2n².

Прежде чем продолжить, введем следующее соглашение. Поскольку главное, орбитальное и магнитное квантовые числа определяют состояние движения электрона в атоме, мы будем обозначать это состояние |nlm⟩ и перепишем уравнение (4.43) следующим образом:

ψ_nlm(r,θ,φ) = R_nl(r)Y_lm(θ,φ). (4.57)

Отступление 4.2. Модель атома: краткая история

Хотя идея атома восходит еще к древнегреческим философам (само слово «атом» имеет греческое происхождение и означает «неделимый»), его первую физическую модель предложил в 1904 г. Дж. Дж. Томсон вскоре после совершенного им же открытия электрона. Он предположил, что отрицательно заряженные электроны размещаются внутри комка положительно заряженного вещества, как изюминки в пудинге.

Гипотеза Томсона была опровергнута при помощи экспериментов, проведенных Эрнестом Резерфордом; в этих экспериментах металлическая фольга подвергалась бомбардировке альфа-частицами. Резерфорд с коллегами обнаружил, что хотя бóльшая часть частиц пролетала сквозь фольгу так, будто ее там не было, очень небольшая их доля (~1/8000) отражалась назад. Резерфорд интерпретировал это наблюдение как свидетельство того, что положительные заряды в атоме сосредоточены в крохотных, но тяжелых ядрах. После этого, в 1911 г., Резерфорд предложил планетарную модель атома[107], согласно которой электроны обращаются вокруг ядер примерно так же, как планеты вокруг Солнца. Легенда гласит, что однажды утром Резерфорд, войдя в лабораторию, громко объявил: «Теперь я знаю, как выглядит атом!»

У модели Резерфорда, однако, был серьезный недостаток, который сам ученый и его коллеги сразу же осознали. Обращаясь вокруг ядра, электрон должен создавать вокруг себя переменные электрическое и магнитное поля, порождая тем самым электромагнитную волну, которая должна будет унести с собой часть энергии электрона. В результате частица упадет на ядро в течение пикосекунд.

Резерфорд попросил своего сотрудника, молодого теоретика Нильса Бора, разрешить это противоречие. Не прошло и двух лет, как Бор нашел для него частичное решение[108]. Он постулировал существование дискретного множества «стационарных» орбит, на которых электрон может находиться, ничего при этом не излучая. А именно, орбита является стационарной, если ее момент импульса равен целому числу постоянных Планка ℏ:

pr = nℏ. (4.58)

Если электрон переходит с одной стационарной орбиты на другую, он излучает или поглощает фотон, энергия которого равна разности энергий между уровнями. Спектр оптических переходов атома водорода, рассчитанный Бором на основании предложенной им модели (см. упр. 4.41), вполне укладывался, как оказалось, в формулу Ридберга (4.61), которая к тому моменту уже была известна эмпирически (см. отступление 4.3), и демонстрировал прекрасное совпадение с экспериментальными данными.