Отличная квантовая механика

Частицы могут иметь «встроенный» момент импульса — спин Визуально его можно представить как вращение частицы вокруг своей оси — в отличие от «орбитального» движения точечной частицы во внешнем поле, которое мы изучали до сих пор. Спиновая степень свободы подчиняется правилам для собственных состояний момента импульса, выведенных в подразд. 4.3.1. В частности, возможные собственные значения наблюдаемого задаются формулой s (s + 1) ℏ², где s — неотрицательное целое или полуцелое число[105]. Поскольку спиновая степень свободы не имеет представления в координатном базисе, s имеет право принимать полуцелые значения.

Конкретное значение s определяется природой частицы, на него невозможно повлиять внешними средствами. Скажем, электроны, протоны и нейтроны имеют тогда как у фотонов s = 1.

Физики иногда используют термин «спин» для обозначения именно этого значения s — точно так же, как они используют термин «момент импульса» для обозначения значения l — несмотря на то, что эти значения не представляют реальных абсолютных величин Например, говорят, что спин электрона равен 1/2.

Частицы с полуцелым спином называются фермионами, а с целым — бозонами. Согласно принципу запрета Паули, два идентичных фермиона не могут находиться в одном и том же квантовом состоянии. Этот принцип крайне важен для многих физических явлений, например, для периодического закона химических элементов (подразд. 4.4.3). Однако физические причины, стоящие за принципом Паули, требуют понимания квантовой электродинамики и потому выходят за рамки данного курса.

Компонент наблюдаемого спина вдоль оси z имеет собственные значения, заданные m_sℏ, где m_s ∈ {—s,…, s} называется спиновым квантовым числом. В отличие от числа s, значения проекции спинового оператора частицы на конкретную ось не определяются природой частицы. Мы можем приготовить состояния спина с любыми значениями m_s из диапазона, разрешенного спином частицы, а также произвольные их суперпозиции.

4.4. Атом водорода

4.4.1. Радиальные волновые функции

В разделе 3.5 я упоминал, что одним из основных мотивов нашего интереса к стационарному уравнению Шрёдингера является то, что оно позволяет нам получить энергетические уровни электронов в атомах. Поскольку переходы между энергетическими уровнями связаны с поглощением или испусканием оптического фотона, эти теоретические расчеты можно непосредственно проверить экспериментально. Теперь мы вооружены знаниями и можем рассчитать энергетические уровни и соответствующие им волновые функции атома водорода. Точное совпадение результатов этих расчетов с экспериментальными данными по эмиссионному спектру атомарного водорода стало одним из самых значительных триумфов квантовой механики (см. отступление 3.2).

В атоме водорода электрон движется в электростатическом потенциале, создаваемом тяжелым ядром:

где e — заряд электрона, а ε₀ — электрическая постоянная (мы пользуемся системой СИ). Следовательно, задача об атоме водорода представляет собой частный случай движения в центральном поле. Поэтому мы можем воспользоваться стратегией, изложенной в подразд. 4.2.2, а именно искать энергетическую собственную волновую функцию в виде произведения (4.29). В этом произведении, как мы теперь знаем, λ = ℏ²l (l + 1), а угловой компонент волновой функции Y_λ(θ,φ) = Y_l^m(θ,φ) — одна из сферических гармоник, так что мы можем переписать его как

ψ_Elm(r,θ,φ) = R_El(r)Y_lm(θ,φ). (4.43)

Все, что нам теперь нужно сделать, — это найти радиальный компонент, который мы обозначили R_El (r).

Упражнение 4.34§. Напишите радиальное уравнение (4.30) для атома водорода.

Ответ:

Хотя это обыкновенное дифференциальное уравнение, решить его довольно трудно. Первый шаг в его упрощении — простая замена переменной.

Упражнение 4.35. Переопределите

R_El (r) = U_El (r)/r (4.45)

и перепишите (4.44) для U_El (r).

Ответ:

Распространенный подход при решении дифференциальных уравнений — попытаться угадать общий вид решения, а затем подогнать его параметры так, чтобы они удовлетворяли уравнению. В данном случае мы попробуем искать решение в виде

Следующее упражнение поможет понять, как мы пришли к этой догадке.

Упражнение 4.36. Покажите, что асимптотическое поведение U_El (r), заданное приведенным выше уравнением, согласуется с (4.46) при r → 0 и r → ∞.

А теперь найдем коэффициенты A_j и верхний предел суммирования в (4.47).

Упражнение 4.37. Покажите, что для выполнения уравнения (4.46) должно удовлетворяться следующее соотношение:

Последняя величина имеет размерность длины и известна как боровский радиус. Его физический смысл мы вскоре выясним.

Из (4.49) мы знаем, что A_j+1/A_j → 2κ/j при больших j. Если бы ряд (4.47) с таким свойством был бесконечен (n = ∞), то он расходился бы. И действительно, в пределе при j → ∞ мы имели бы A_j ~ (2κ) ^j/j! и, следовательно, при r → ∞