Отличная квантовая механика

Результат последнего упражнения — то, что собственные значения ложатся в диапазон от — lℏ до lℏ с шагом ℏ, — не удивителен. Хотя мы выбрали для помощи в поиске базиса 𝕐, в оси z, если говорить о физических свойствах, нет ничего необычного. Пространство изотропно, так что наблюдаемые ведут себя при квантовых измерениях точно так же, как Более того, эти же свойства наблюдались бы и в том случае, если бы мы рассматривали проекцию момента импульса на любую произвольную ось.

Упражнение 4.28. Пусть наблюдаемое определено проекцией момента импульса на единичный вектор характеризуемый сферическими углами (θ, φ). Ограничьте свой анализ подпространством с l = 1/2.

a) Покажите, что собственные значения равны ±ℏ/2, и найдите соответствующие собственные состояния в каноническом базисе.

Подсказка: найдите матрицу оператора

в каноническом базисе.

b) Найдите средние значения в этих состояниях и покажите, что они пропорциональны проекциям вектора на соответствующие координатные оси.

Ответ:

Перед тем как закончить разговор о матрицах момента импульса, кратко коснемся принципа неопределенности Гейзенберга.

Упражнение 4.29. Найдите математические ожидания и дисперсии операторов в состоянии |lm⟩. Проверьте принцип неопределенности. Превращается ли неравенство в равенство для каких-либо значений l или m?

Ответ:

Принцип неопределенности принимает вид

Полезно взглянуть на принцип неопределенности для состояний с m = ±l, таких что L_z принимает максимально возможное значение для данного L². В классическом варианте это подразумевало бы, что Но в квантовом случае что меньше, чем ⟨L²⟩ = l(l + 1)ℏ². Следовательно, остается некий «люфт» для x- и y-компонентов момента импульса: Это гарантирует выполнение принципа неопределенности для данных компонентов.

4.3.2. Волновые функции собственных состояний момента импульса

Замечательно, что все выведенное в предыдущем подразделе — а вывели мы немало — следует исключительно из перестановочных соотношений между компонентами момента импульса, которые мы вывели в упр. 4.11. Помимо упомянутых соотношений, мы не использовали непосредственно ни определение этого наблюдаемого, ни какие бы то ни было его физические свойства. Но сейчас наша цель — найти волновые функции состояний |lm⟩. И здесь нам уже не обойтись без явных выражений для операторов в координатном базисе, которые мы вычислили в упр. 4.15.

Упражнение 4.30. Покажите, что волновая функция любого собственного состояния оператора с собственным значением m должна иметь вид

T (θ) e^imφ. (4.37)

Упражнение 4.31§. Покажите, что операторы повышения и понижения в координатном базисе задаются выражениями

Подсказка: воспользуйтесь уравнениями (4.25) и (4.31).

Упражнение 4.32. Покажите методом математической индукции, что волновые функции состояний |lm⟩ задаются сферическими гармониками[103]

где

есть коэффициент нормирования[104], посредством следующих шагов.

a) Если применить оператор повышения к состоянию |lm⟩ при m = l, должен получиться нуль, согласно (4.33a). Убедитесь, что это верно для волновой функции состояния |ll⟩, задаваемой уравнением (4.39).

b) Убедитесь в верности нормирующего множителя (4.40).

Подсказка:

c) Примените оператор который в координатном базисе задается уравнением (4.26), к чтобы убедиться, что эта функция представляет собственное состояние с собственным значением l (l + 1) ℏ².

d) Пусть волновая функция состояния |lm⟩ задается уравнением (4.39) при некотором m. Примените оператор понижения (4.38b), чтобы показать, что уравнение (4.39) задает также волновую функцию состояния |l, m — 1⟩.

Обратите внимание: достаточно проверить, что нормирована и является собственной волновой функцией только при m = l, что было сделано в частях (b) и (c). Это так потому, что, согласно (4.33), мы уже знаем: оператор понижения сохраняет как собственное значение так и нормирование (с множителем

Упражнение 4.33§. Вычислите явно сферические гармоники для всех возможных значений m, которые допустимы при l = 0 и l = 1.

Абсолютные величины сферических гармоник вплоть до l = 2 показаны на рис. 4.2. В соответствии с тем, что мы выяснили в упр. 4.30, эти абсолютные значения не зависят от φ и, следовательно, аксиально симметричны.

Ранее в этом разделе — когда мы выводили условия физически разрешенных значений l и m — я упоминал, что это лишь необходимые условия и не все они могут реализовываться. Вычислив в явном виде волновые функции состояний |lm⟩, мы доказали существование (и единственность) этих состояний, но только для целых l и m. Действительно, сферические гармоники содержат множитель e^imφ. При полуцелом l квантовое число m тоже полуцелое, и такой множитель дает ψ(r, θ, φ) = —ψ(r, θ, φ + 2π), а это невозможно. Поэтому точечная частица в радиально-симметричном поле должна иметь целое орбитальное квантовое число.

4.3.3. Спин