Отличная квантовая механика

Подробное исследование данного вопроса завело бы нас от физики слишком глубоко в математические дебри, поэтому мы не будем этим заниматься. Однако вы можете попробовать поработать самостоятельно, в порядке тренировки. Для этого вам потребуется определить скалярные произведения собственных состояний в сферических координатах ⟨r₁|r₂⟩, ⟨θ₁|θ₂⟩, ⟨ϕ₁|ϕ₂⟩ и использовать их для получения аналогов соотношений из разд. 3.1, не забывая при этом позаботиться о том, чтобы они согласовывались друг с другом и с уравнением (4.13).

Элементы пространства 𝕍_r представлены волновыми функциями радиуса R (r), тогда как функции двух углов Y_λ (θ, φ) определяют элементы 𝕐.

Имея (4.13), естественно определить скалярное произведение пространств 𝕍_r и 𝕐 следующим образом:

где R_1,2 (r) и Y_1,2 (θ, φ) — волновые функции произвольных состояний |R_1,2⟩ и |Y_1,2⟩ в 𝕍_r и 𝕐 соответственно.

Упражнение 4.7. Покажите, что:

a) ^§ скалярные произведения (4.15) согласуются с определением A.9;

b) скалярные произведения (4.15) согласуются с таковым в 𝕍_3D, согласно определению (2.4) скалярного произведения в пространстве тензорных произведений.

4.2.2. Квантовый момент импульса

Следуя в русле классического подхода к движению во вращательно-инвариантном потенциальном поле, введем теперь понятие квантового момента импульса — наблюдаемого, которое определяется как

Это векторное произведение, знакомое нам из геометрии и механики. Его можно записать множеством разных способов. Мы можем сделать это для каждого его компонента явно:

Или же можно применить символ Леви-Чивиты[96]:

Здесь мы воспользовались эйнштейновским соглашением, по которому знак суммы опускается, а суммирование по повторяющимся индексам подразумевается (мы будем придерживаться этого соглашения во всей главе).

Упражнение 4.8. Покажите, что оператор момента импульса — эрмитов.

Упражнение 4.9§. Покажите, что оператор момента импульса в координатном базисе представляется так[97]:

Теперь выведем перестановочные свойства оператора момента импульса. Эту задачу значительно упрощает использование символа Леви-Чивиты. Поэтому я рекомендовал бы вам освоиться с этим символом (если вы не знакомы с ним из классической электродинамики). В частности, нам потребуется соотношение из следующего упражнения.

Упражнение 4.10. Покажите, что

ε_jkl ε_jmn = δ_km δ_ln — δ_kn δ_lm. (4.21)

Упражнение 4.11. Проверьте следующие равенства (для произвольных j, k ∈ {1, 2, 3}):

Упражнение 4.12. Покажите, что определение (4.16) момента импульса может быть записано как несмотря на то что наблюдаемые координат и импульса в общем случае не коммутируют.

Упражнение 4.13. Покажите, что если потенциал вращательно инвариантен то:

a) каждый компонент а также квадрат вектора момента импульса коммутирует с гамильтонианом (4.7);

b) в любом состоянии |ψ⟩ среднее значение каждого компонента момента импульса сохраняется:

У этого результата есть прямая классическая аналогия: согласно теореме Эмми Нётер, в центрально-симметричном потенциальном поле момент импульса сохраняется.

Теперь давайте включим наблюдаемое момента импульса в уравнение Шрёдингера.

Упражнение 4.14

a) Покажите, что

Как изменится этот результат для классического момента импульса?

b) Перепишите стационарное уравнение Шрёдингера (4.8) как

Уравнение (4.23) благоприятно с точки зрения разделения переменных, о котором говорилось в предыдущем разделе. Действительно, каждое слагаемое в левой части уравнения есть локальный оператор или в 𝕍_r, или в 𝕐. Первое слагаемое, например, выражено через оператор классический аналог которого пропорционален проекции импульса на радиус-вектор. Можно ожидать, что эта проекция влияет только на радиальную степень свободы, т. е. представляет собой локальный оператор в 𝕍_r. Второе слагаемое — момент импульса — влияет только на вращательную степень свободы: оно локально в 𝕐. Третье слагаемое, разумеется, локально в 𝕍_r если потенциал вращательно инвариантен:

Чтобы показать эту разделимость строго, мы должны перевести первые два слагаемых (4.23), которые в настоящий момент известны нам в декартовых координатах, в сферические. Мы сделаем это, воспользовавшись правилом для замены переменных в частных производных, известным нам из курса анализа функций многих переменных. Вычисления эти несложны, но весьма утомительны, так что если вы не чувствуете себя профессионалом в этом вопросе, то можете при первом прочтении просто бегло просмотреть решение.

Упражнение 4.15*

a) Покажите, что

b) Выведите компоненты оператора момента импульса в сферических координатах из выражений (4.20) для таковых в декартовых координатах:

c) Покажите, что

d) Выразите операторы в сферических координатах: