Отличная квантовая механика

Задача 3.8. Нарисуйте качественно действительные части стационарных волновых функций для потенциалов, показанных на рис. 3.15, с отмеченными там же значениями энергии. При решении следует уделить внимание подробностям, например взаимоотношениям между длинами волн де Бройля в разных областях пространства, условиям непрерывности и т. д.

Задача 3.9. Найдите трансцендентное уравнение для собственных значений энергии, присущих связанным стационарным состояниям в потенциале

Сравните свой результат с результатом упр. 3.39.

Задача 3.10. Выполните упр. 3.41 в импульсном базисе. Проверьте, согласуется ли ваше решение с решением в координатном базисе.

Подсказка:

Задача 3.11. Найдите энергии и волновые функции всех связанных состояний, ассоциированных с потенциалом

V(x) = V₀θ(x) − W₀δ(x),

где V₀ и W₀ положительны, а θ (x) есть ступенчатая функция Хевисайда (рис. 3.17). Найдите условия существования по крайней мере одного связанного состояния.

Задача 3.12. Вычислите коэффициенты отражения и прохождения для рассеяния на дельта-потенциале V (x) = W₀δ (x) с энергией E > 0. Сравните свои результаты с результатами, полученными из уравнений (3.81) для бесконечно тонкого и высокого прямоугольного потенциального барьера (L → 0, V₀ = W₀/L).

Задача 3.13. Массивная частица массой M закреплена на пружине с коэффициентом упругости κ. Второй конец пружины прикреплен к стене, в результате чего возникает гармоническое колебательное движение.

a) Напишите полный набор энергетических собственных значений и соответствующие нормированные волновые функции в неперемасштабированном координатном базисе.

b) Предположим, в точке x = 0 появляется новая стена, как показано на рис. 3.18, так что частица не может заходить в область x > 0. Каким образом следует модифицировать записанный набор, чтобы он представлял энергетические собственные значения и собственные состояния для нового потенциала?

Задача 3.14. Массивная частица массой M закреплена на пружине с коэффициентом упругости κ. Второй конец пружины прикреплен к стене, благодаря чему образуется гармонический осциллятор. Первоначально частица находится в основном энергетическом собственном состоянии.

a) В момент времени t = 0 на частицу начинает действовать дополнительная, не зависящая от координаты сила F. Найдите вероятность обнаружения частицы в основном состоянии нового потенциала.

b) Найдите математическое ожидание координаты ⟨x(t)⟩ и импульса ⟨p(t)⟩ частицы в зависимости от времени.

Подсказка: вычислять эволюцию волновой функции необходимости нет.

Задача 3.15[92]. Когерентное состояние с одним добавленным фотоном (SPACS, single-photon added coherent state) получается из когерентных состояний при действии на них оператора рождения: |α,1⟩ = 𝒩â^†|α⟩.

a) Найдите нормировочный множитель 𝒩.

b) Найдите разложение этого состояния в базисе чисел фотонов (упрощать результат не требуется).

c) Найдите математическое ожидание координаты.

d) Найдите волновую функцию SPACS для действительного α.

e) К какому квантовому состоянию приближается SPACS в пределе α = 0? α → ∞?

Задача 3.16. Рассмотрим состояние гармонического осциллятора, разложение которого в базисе чисел квантов имеет вид

|ψ(t = 0)⟩ = α |0⟩ — β |2⟩,

где α и β действительны и α² + β² = 1.

a) Найдите волновую функцию |ψ(t = 0)⟩ в координатном базисе.

b) Определите поведение |ψ(t)⟩ этого состояния в зависимости от времени в числовом базисе.

c) Найдите математическое ожидание и дисперсию энергии в зависимости от времени.

d) Найдите математическое ожидание и дисперсию координаты в зависимости от времени.

e) Для каких значений α и β состояние |ψ(t = 0)⟩ является сжатым по координате, т. е. дисперсия координаты меньше, чем в вакуумном состоянии?

Задача 3.17. Рассмотрим следующее состояние двух гармонических осцилляторов:

|ψ⟩ = α |0, 0⟩ — β |1, 1⟩,

где α и β действительны и α² + β² = 1.

a) Для каких значений α и β это состояние демонстрирует двумодовое сжатие по координате, т. е. дисперсия меньше, чем в двойном вакуумном состоянии?

b) Ответьте на этот же вопрос для импульса.

Задача 3.18. Рассмотрим когерентные суперпозиции когерентных состояний |S_±⟩ = 𝒩_±(|α⟩±|−α⟩|, где 𝒩_± — нормирующие множители, а амплитуда α действительна и положительна[93].

a) Найдите 𝒩_±.

b) Найдите матрицы (волновые функции) этих состояний

• в фоковском базисе;

• в координатном базисе;

• в импульсном базисе.

c) Покажите, что для малых амплитуд α данные состояния можно аппроксимировать до двух первых членов фоковского разложения состояниями

|S₊⟩ ≈ Ŝ(r₊)|0⟩, |S₋⟩ ≈ Ŝ(r₋)|1⟩,

и найдите r_±(α), для которого такое приближение оптимально.

Задача 3.19. Для операторов смещения в фазовом пространстве

Задача 3.20. Для оператора координатного смещения в перемасштабированных переменных: