Отличная квантовая механика

Упражнение 4.4*. Найдите энергетические собственные значения и их степени вырождения для трехмерного изотропного гармонического осциллятора с  где r² = x² + y² + z².

В общем случае, однако, потенциал не есть сумма потенциалов для отдельных координат. Это приводит к тому, что эволюция под действием гамильтониана (4.7), как правило, запутывает состояния, которые первоначально были тензорными произведениями векторов в 𝕍_x,𝕍_y и 𝕍_z. Собственные состояния гамильтониана также будут запутаны по отношению к трем пространствам-компонентам. Чтобы проиллюстрировать это, запишем стационарное уравнение Шрёдингера для трехмерного движения в координатном базисе.

Упражнение 4.5. Покажите, что в координатном базисе:

a) действие одного из компонентов оператора импульса на произвольное состояние |ψ⟩ в координатном представлении есть

b) действие вектора оператора импульса в координатном базисе есть (иными словами, в координатном базисе

c) стационарное уравнение Шрёдингера принимает вид

Мы получили трехмерное дифференциальное уравнение в частных производных. Его решение, как правило, не может быть записано как произведение функций отдельных декартовых переменных — так проявляется упомянутая выше запутанность.

Решение уравнения (4.9) в общем виде весьма затруднительно. К счастью, физические задачи, требующие подобных усилий, встречаются относительно редко. Обычно потенциал обладает какими-нибудь симметриями, которые облегчают решение. Мы разберем один такой случай.

4.2. Центрально-симметричный потенциал

4.2.1. Сферические координаты

Рассмотрим вращательно-инвариантный потенциал где есть длина радиус-вектора в точку (x,y,z), — такой как потенциал электрического поля атомного ядра, в котором движутся электроны. Если мы научимся решать стационарное уравнение Шрёдингера для этого потенциала, то сможем и вычислять волновые функции стационарного состояния электрона в атоме.

Как бы мы рассчитывали классическое движение частицы во вращательно-инвариантном потенциале? Скорее всего, рассмотрели бы две степени свободы такого движения — радиальную и угловую, и отметили, что они в значительной степени отвязаны друг от друга, потому что момент импульса сохраняется. Подобная отвязанность позволила бы нам записать и решить уравнения движения для каждой степени свободы отдельно. Математически это означает, что использование сферических, а не декартовых координат значительно упростило бы вычисления.

В квантовом случае мы применим аналогичную стратегию. Начнем с представления 𝕍_3D в виде тензорного произведения гильбертовых пространств, связанных со сферическими координатами:

𝕍_3D = 𝕍_r ⊗ 𝕍_θ ⊗ 𝕍_φ (4.10)

при (рис. 4.1)

x = r sin θ cos φ; (4.11a)

y = r sin θ sin φ; (4.11b)

z = r cos θ. (4.11c)

Соответственно, волновая функция становится функцией от r, θ и φ. Преимущество перехода к сферическим координатам состоит в том, что центрально-симметричный потенциал при этом станет оператором только в 𝕍_r. За это, однако, приходится расплачиваться кинетической энергией. В отличие от декартовой системы координат здесь она не может быть представлена как сумма слагаемых, каждое из которых локально в пределах своего компонента гильбертова пространства. Тем не менее использование такого подхода дает определенное преимущество, которое мы увидим еще до конца текущего раздела.

Чтобы двигаться дальше, нам необходимо ввести правило вычисления скалярных произведений двух состояний, волновые функции которых выражены в сферических координатах. Скалярное произведение в координатном базисе задается уравнением (4.5). Чтобы перевести переменные интегрирования из декартовых координат в сферические, мы должны включить в уравнение якобиан:

Для скалярного произведения (4.5) мы, таким образом, должны записать

Упражнение 4.6. Докажите второе равенство в уравнении (4.12).

Традиционно принято объединять два гильбертовых пространства, связанных с угловым движением, в единое пространство тензорных произведений 𝕐 = 𝕍_θ ⊗ 𝕍_φ, так что

𝕍_3D = 𝕍_θr ⊗ 𝕐. (4.14)

Отступление 4.1. Нормирование в гильбертовых пространствах в сферических координатах

Дополнительный множитель r²sinθ в уравнении (4.13) может вызвать вопросы. Мы вывели соотношение (3.6) и его многомерный аналог (4.5) из фундаментальных принципов, поэтому, казалось бы, скалярное произведение двух состояний, выраженных в любом непрерывном базисе, должно иметь одинаковый вид, без всяких дополнительных множителей. Объяснение заключается в том, что уравнение (3.6) было выведено с использованием правила нормирования (3.1a) для координатных собственных состояний. Собственные состояния трех сферических наблюдаемых не обязаны следовать этому правилу, поскольку обладают другими свойствами. Например, сферические координаты могут принимать значения из ограниченных диапазонов: r ∈ [0,+∞), θ ∈ [0,π], φ ∈ [0,2π), в отличие от координаты x, значения которой лежат в диапазоне от —∞ до +∞.