Отличная квантовая механика

В оптической реализации гармонического осциллятора сжатые состояния могут быть получены с использованием (вы уже догадались) параметрического рассеяния (отступление 1.6). Как мы знаем, одна из главных особенностей этого явления заключается в том, что фотоны генерируются парами — в точности как в сжатых вакуумных состояниях. В зависимости от того, одномодовый или двумодовый сжатый вакуум мы хотим получить, используются различные конфигурации параметрического рассеяния: оно либо вырождено, если два фотона выпускаются в одной и той же оптической моде, либо невырождено, если фотоны в паре распределены по двум оптическим каналам.

Невырожденная конфигурация выглядит так же, как описывалось в контексте источников объявленных фотонов (отступление 1.6) и источников запутанных пар (отступление 2.1). Однако эти описания делались в приближении слабой накачки, так что вероятность генерации двух или более пар фотонов одновременно пренебрежимо мала. Отказавшись от этого предположения, мы получаем более общий случай: сжатие.

Мы видим, что ряд (3.193) представляет собой геометрическую прогрессию: амплитуда каждого последующего члена равна амплитуде предыдущего, домноженной на th r. Именно этого и следует ожидать от параметрического рассеяния: поскольку это спонтанный процесс, вероятность появления n пар равна вероятности появления единичной пары, возведенной в n-ю степень. Если такая вероятность значима, то фактор сжатия e^—r (см. упр. 3.108) значительно отличается от единицы. В случае одномодового сжатия (3.191) соотношение геометрической прогрессии осложняется из-за интерференции между фотонами пары, выпущенной в одну и ту же моду.

Если сжатое состояние возникло, как его можно обнаружить? Один из способов убедиться в наличии двумодового сжатия состоит в том, чтобы измерить число фотонов в двух эмиссионных модах и убедиться, что число их там и там коррелирует. Однако этот метод не позволяет установить фазовое соотношение между компонентами фотонной пары и, более того, не годится для обнаружения одномодового сжатия. Гораздо информативнее будет произвести множественные измерения координаты и импульса с использованием гомодинного детектора (отступление 3.12) и убедиться в том, что их статистика ведет себя ожидаемым образом.

Упражнение 3.117*. Покажите, что

выполнив следующие шаги.

a) Вычислите перекрытие Ŝ₂(r)|0,0⟩ и тензорного произведения |α, α⟩ одинаковых когерентных состояний в осцилляторах Алисы и Боба:

b) Разложив когерентные состояния из левой части в фоковском базисе и оставив только члены с равным числом фотонов, покажите, что

c) Разложите экспоненту в правой части приведенного уравнения в степенной ряд по α и получите уравнение (3.193).

Упражнение 3.118*. Найдите среднее значение и дисперсию числа квантов энергии:

a) в состоянии одномодового сжатого вакуума;

b) в состоянии двумодового сжатого вакуума (в каждом канале).

Подсказка: найдите квадрат нормы обоих состояний из уравнений (3.191) и (3.195) и вычислите производную по th r.

Ответ:

a) ⟨m⟩ = sh₂r; ⟨Δm₂⟩ = 2sh₂r + 2sh₄r;

b) ⟨n⟩ = sh₂r; ⟨Δn₂⟩ = sh₂r + sh₄r.

3.11. Задачи

Задача 3.1. Некоторое состояние характеризуется волновой функцией

a) Найдите нормирующий множитель A.

b) Найдите волновую функцию в импульсном базисе.

c) Проверьте принцип неопределенности: ⟨Δp₂⟩⟨Δx₂⟩ ≥ ℏ₂/4.

Подсказка:

Задача 3.2. Найдите элемент матрицы ⟨p|Â|p'⟩, если оператор Â есть функция координаты:

Задача 3.3. Для энергетических собственных состояний из упр. 3.40 найдите неопределенности координаты и импульса и убедитесь в том, что принцип неопределенности выполняется.

Задача 3.4. Рассмотрите состояние:

где есть норма, в потенциальном поле из упр. 3.40. Найдите спектр энергий этого состояния, т. е. вероятности pr_n наблюдения каждого из энергетических собственных состояний. Покажите, что в сумме эти вероятности дают единицу.

Задача 3.5. Рассмотрите частицу массой M, начальное состояние которой характеризуется волновой функцией ψ(x), в бесконечно глубокой потенциальной яме ширины a. Покажите, что эволюция под действием уравнения Шрёдингера восстановит начальное состояние (возможно, с фазовым множителем) через время t = 4Ma²/πℏ.

Задача 3.6. Для конечной потенциальной ямы (3.65):

a) аналитически найдите приближенные поправки к первым двум энергетическим уровням бесконечно глубокой потенциальной ямы (упр. 3.40) при замене ее конечной ямой с V₀ ≫ E₁, где E₁ задается уравнением (3.69);

b) найдите численно первые два энергетических собственных значения для k₀a = 10. Согласуется ли ваш результат с результатом части (a)?

Задача 3.7. Частица находится в основном состоянии бесконечно глубокой потенциальной ямы шириной a. Яма внезапно становится в два раза шире (симметрично в обе стороны). Какова вероятность, что частица останется в основном состоянии нового потенциала?