Отличная квантовая механика

Возвращаясь еще раз к примеру 𝑓(x, t) = 2x, видим, что (3.154) принимает вид Функция плотности вероятности растягивается вдоль оси x и приобретает нормировочный множитель, равный чего и следовало ожидать интуитивно.

Хотя представление Гейзенберга не предсказывает эволюцию комплексной фазы волновой функции, его можно использовать для расчета зависимости от времени абсолютного значения этой функции — и, следовательно, экспериментально измеряемой плотности вероятности, связанной с наблюдаемым В общем случае представление Гейзенберга не менее мощный инструмент предсказания экспериментальных результатов, чем представление Шрёдингера; выбор того или иного представления для конкретного расчета диктуется соображениями простоты и зачастую личными предпочтениями исследователя.

3.10. Преобразования состояний гармонического осциллятора

Рассмотрим теперь несколько операторов, которые могут быть применены к квантовым состояниям гармонического осциллятора и особенно важны в контексте квантовой оптики. Мы изучим эти операторы как в представлении Шрёдингера, так и в представлении Гейзенберга, приобретая таким образом дополнительные навыки и больше узнавая о взаимоотношениях между этими представлениями.

В данном разделе мы не будем считать априори, что система находится под действием гамильтониана гармонического осциллятора. Отсылка к гармоническому осциллятору будет ограничена использованием перемасштабированных наблюдаемых координаты и импульса, введенных в разд. 3.8, операторов рождения и уничтожения, а также состояний и соотношений, выработанных в их контексте. Эти соотношения (за исключением тех, что относятся к энергиям и эволюции состояний) остаются верными вне зависимости от гамильтониана и корректны для любых значений κ, M и ω, используемых для перемасштабирования.

3.10.1. Когерентное состояние как смещенное вакуумное

Для начала покажем, что когерентное состояние может быть записано как смещенное вакуумное, и воспроизведем некоторые результаты подразд. 3.8.3 более простым способом.

Упражнение 3.100. Покажите, что оператор фазово-пространственного смещения в перемасштабированных единицах соответствует следующим преобразованиям в представлении Гейзенберга (рис. 3.13a):

Подсказка: введите фиктивный гамильтониан где ω = 1/t, и исследуйте эволюцию операторов под действием этого гамильтониана за время t.

Упражнение 3.101. Убедитесь, что вектор где |0⟩ есть вакуумное состояние, является собственным вектором оператора уничтожения с собственным значением Убедитесь, что норма этого вектора равна единице.

Сравнивая полученный результат с определением когерентного состояния (подразд. 3.8.3), мы видим, что

Обратите внимание — мы используем знак пропорциональности, а не равенства: когерентные состояния |α⟩ следуют определенному фазовому соглашению, и мы не можем пока быть уверены, что правая сторона уравнения (3.156) имеет ту же фазу. Мы определим эту фазу в следующем упражнении.

Упражнение 3.102*

a) Покажите, что оператор смещения можно переписать как

Подсказка: используйте (3.100).

b) Преобразуйте результат пункта a) следующим образом:

Подсказка: используйте формулу Бейкера — Хаусдорфа — Кэмпбелла (A.54).

c) Покажите, что правую часть (3.156) можно переписать как

Упражнение 3.103. Выразите правую часть (3.159) в базисе Фока посредством разложения экспоненты в степенной ряд.

Мы видим, что правая часть уравнения (3.156) имеет в точности то же фоковское разложение (3.122), что и когерентное состояние. Это означает, что посредством смещения вакуума мы получаем состояние, которое не просто пропорционально, но и равно когерентному состоянию:

3.10.2. Фазовый сдвиг

Эволюцию под действием гамильтониана гармонического осциллятора (3.96) можно переписать как

В упр. 3.73 мы выяснили, что эта эволюция преобразует когерентное состояние |α⟩ в другое когерентное состояние, Добавляется когерентный фазовый сдвиг на ωt и, кроме того, квантовый фазовый множитель который возникает из свободного члена гамильтониана. Удобно ввести оператор фазового сдвига

где ϕ — действительное число. Действие данного оператора эквивалентно эволюции (3.161) за время t = ϕ/ω, но не содержит вышеупомянутого дополнительного квантового фазового множителя.

Упражнение 3.104. Покажите, что:

Уравнение (3.163) показывает, как работает когерентный фазовый сдвиг: он применяет квантовый фазовый множитель exp (—iϕn) |n⟩ к каждому фоковскому компоненту |n⟩ состояния. Действуя совместно в рамках суперпозиции фоковских состояний, эти квантовые фазовые сдвиги (каждый из которых по отдельности нефизичен) приводят к физически измеряемому когерентному фазовому сдвигу.

Упражнение 3.105. Покажите, что фазовый сдвиг преобразует операторы гармонического осциллятора следующим образом (рис. 3.13b):