Отличная квантовая механика

Если мы попытаемся примирить упомянутые два подхода и найти для них общую интуитивно понятную основу, то одним из препятствий, с которыми мы неизбежно столкнемся, станет вопрос о том, как классическая и квантовая физика работают с эволюцией во времени. В классической картине эволюционируют наблюдаемые: например, координата движущейся частицы. В квантовом мире, напротив, наблюдаемые — такие как оператор координаты — постоянны; эволюцию же связывают с состоянием системы |ψ(t)⟩. В этом разделе мы попробуем сделать связь между двумя мирами более прозрачной, для чего разберем альтернативный аппарат квантовой теории, в которой состояния постоянны, а эволюционируют наблюдаемые.

3.9.1. Эволюция оператора

Предположим, нам нужно найти среднее значение некоторого наблюдаемого Â в квантовом состоянии |ψ⟩, которое эволюционирует под действием гамильтониана Ĥ. Обычный подход (разд. 1.10) предписывает вычислять эволюцию интересующего нас состояния согласно — унитарный оператор эволюции[87]. Тогда квантовое среднее значение равно

Этот подход известен как представление Шрёдингера квантовой эволюции. Альтернативой ему является представление Гейзенберга, согласно которому считается, что операторы эволюционируют в соответствии с

тогда как все квантовые состояния остаются неизменными: |ψ(t)⟩ = |ψ(0)⟩. В таком случае среднее значение Â равно

Предполагается, что в момент времени t = 0 состояния и операторы в обоих представлениях одинаковы.

Упражнение 3.77. Покажите, что квантовые средние значения оператора, рассчитанные в представлениях Шрёдингера и Гейзенберга [(3.126) и (3.128) соответственно], одинаковы.

Упражнение 3.78. Для представления Гейзенберга покажите, что эволюция оператора может быть записана в виде (иногда называемом уравнением Гейзенберга)

Чтобы понять, как представление Гейзенберга помогает примирить классический и квантовый подходы, рассмотрим пример.

Упражнение 3.79. Напишите уравнения движения Гейзенберга (3.129) для координаты и импульса гармонического осциллятора, принимая гамильтониан равным (3.83).

Ответ:

Мы видим — и это весьма примечательно, — что эволюция наблюдаемых координаты и импульса гармонического осциллятора в представлении Гейзенберга идентична классической (отступление 3.10). Действительно, уравнение (3.130a) суть определение импульса как произведения массы и скорости, тогда как уравнение (3.130b) есть второй закон движения Ньютона, поскольку сила пружины составляет F = —κx.

Соответственно эквивалентны классическим и решения этих уравнений, помимо крышечек над обозначениями наблюдаемых:

Данная аналогия квантового и классического может показаться чисто формальной, так как можно сказать, что координата и импульс в приведенных выше уравнениях — это операторы, абстрактные понятия линейной алгебры. Но в действительности между тем и другим существует непосредственная практическая связь. Чтобы ее увидеть, мы можем «вложить» обе части уравнений (3.131) между символами ⟨ψ| и |ψ⟩, связанными с произвольным квантовым состоянием. Тогда эти уравнения принимают вид

Теперь вместо абстрактных операторов у нас есть измеряемые физические величины: средняя координата и средний импульс — и они действительно ведут себя идентично своим классическим аналогам в любом квантовом состоянии. Этот факт воспроизводит наш более ранний результат (3.115), полученный с использованием представления Шрёдингера.

Является ли такая согласованность с классическим поведением уникальным свойством гармонического осциллятора или общим свойством всех механических систем? Приведу простой аргумент в пользу последнего.

Упражнение 3.80. Для шрёдингеровой эволюции состояния точечной частицы под действием гамильтониана (3.55) покажите, что

где штрих обозначает производную.

Подсказка: разложите V (x) в степенной ряд.

Уравнение (3.133b) опять же соответствует второму закону Ньютона, потому что в классической механике потенциальная энергия консервативной силы связана с самой этой силой согласно выражению[88]

F (x) = —V' (x). (3.134)

Соотношения (3.133) можно сделать более удобными, если взять средние значения координаты и импульса частицы в произвольном состоянии. Тогда они примут вид

Данные соотношения получили известность как теорема Эренфеста. Важно, что она имеет дело с математическими ожиданиями наблюдаемых, а не непосредственно с состояниями или операторами. А поскольку эти математические ожидания одинаковы в обоих представлениях — и Шрёдингера, и Гейзенберга (упр. 3.77), — теорема Эренфеста тоже верна в обоих представлениях.

Замечу еще, что, как мы знаем из механики, классический вид уравнений (3.133) является частным случаем гамильтоновых уравнений движения:

В квантовом мире эти уравнения заменяются на уравнение Гейзенберга.