Отличная квантовая механика

Таким образом, представление Гейзенберга «выводит на чистую воду» соотношение между квантовой и ньютоновой механикой. Однако за это приходится платить потерей связи между наблюдаемым и его собственными состояниями. Рассмотрим, например, эволюцию гармонического осциллятора (3.131) на одной четверти периода колебаний. Обозначив этот период времени как t₀ (так что ωt₀ = π/2), находим Полученный результат несложно интерпретировать классически: координата маятника после одной четверти его периода определяется исключительно его начальной скоростью. Но в квантовой механике, где наблюдаемые связаны с операторами, тот факт, что оператор координаты в определенный момент t = t₀ становится пропорциональным оператору импульса в момент t = 0, принять намного сложнее. И действительно, мы определили оператор координаты как интеграл (3.11) по собственным состояниям координаты. Но его эволюция к моменту времени t = t₀ в оператор импульса означает, что он уже не описывается таким интегралом. Сама природа оператора координаты изменяется со временем, по мере того как он приобретает другой набор собственных состояний. Более того, оператор координаты в разные моменты времени даже не коммутирует сам с собой:

Эволюция наблюдаемых становится еще менее интуитивно понятной, когда мы имеем дело с взаимодействием различных квантовых систем. Может случиться, к примеру, так, что координата одной частицы в некоторый момент времени становится импульсом другой частицы в другой момент. Или, если мы имеем дело со взаимодействием между светом и атомом, оператор электрического поля, связанный с электромагнитной волной, превращается в оператор, определяющий переход между атомными уровнями. Короче говоря, применяя представление Гейзенберга к решению квантовых задач, с непривычки легко запутаться.

Подолью еще масла в огонь путаницы, обратив ваше внимание на следующее. Гамильтониан (3.55) использует операторы и которые по физической природе представляют собой, соответственно, координату и импульс. Но, как мы обнаружили, природа этих операторов в представлении Гейзенберга меняется со временем. Поэтому, на первый взгляд, уравнение (3.55) представляет верный гамильтониан только в момент времени t = 0, и, следовательно, уравнение следует переписать как

Но тогда уравнение Гейзенберга (3.129) должно содержать коммутатор между гамильтонианом, который является функцией и наблюдаемым Â(t), которое является функцией То есть мы вычисляем коммутатор между операторами, связанными с разными моментами времени. Но мы, выполняя упражнения выше, об этом не думали, а просто писали Не было ли это ошибкой?

Упражнение 3.81. Покажите, что гамильтониан не эволюционирует во времени[89], т. е. Ĥ(t) = Ĥ(0).

Упражнение 3.82. Покажите, что гамильтониан (3.137) можно переписать как

где t есть произвольный момент времени, а операторы получены из уравнения (3.127).

Подсказка: используйте разложение функции в степенной ряд.

Замечательным образом мы обнаруживаем, что, хотя сами наблюдаемые координаты и импульса эволюционируют во времени, их функция, заданная правой стороной уравнения (3.138), остается постоянной. А значит, оба компонента коммутатора в уравнении (3.129) могут быть связаны с одним и тем же временем t; таким образом разрешается наше беспокойство.

Данное наблюдение можно обобщить.

Упражнение 3.83. Рассмотрим некоторый оператор который в момент времени t = 0 представляет собой функцию операторов Â₁….Â_m:

При помощи разложения этой функции в степенной ряд покажите, что приведенное соотношение сохраняется в произвольный момент времени t, т. е.

Мы видим, что эволюция в представлении Гейзенберга сохраняет любые функциональные взаимоотношения между операторами, существовавшие до этой эволюции. Одно из следствий данного результата состоит в том, что зависимость гамильтониана от координаты и импульса в разные моменты времени имеет один и тот же вид [см. уравнения (3.137) и (3.138)]. Еще один показательный пример дается в следующем упражнении.

Упражнение 3.84. Покажите, что эволюция во времени операторов координаты и импульса в представлении Гейзенберга не изменяет их коммутатор:

Упражнение 3.85. Подставьте решение (3.131) в гамильтониан (3.83) и убедитесь явно, что правые стороны уравнений (3.137) и (3.138) одинаковы.

3.9.2. Оператор смещения

В этом разделе мы подробно изучим пример гамильтониана, с которым можно работать как в представлении Шрёдингера, так и в представлении Гейзенберга.

Упражнение 3.86. Решите уравнение Гейзенберга для гамильтониана

где β — действительная постоянная, и покажите, что эволюция операторов координаты и импульса за время t₀ задается

где

x₀ = βt₀. (3.144)

Мы видим, что эволюция под действием гамильтониана (3.142) ведет к смещению оператора координаты на x₀. Соответственно, оператор эволюции

называется оператором смещения координаты. Изучим его действие в представлении Шрёдингера.