Отличная квантовая механика

Мы можем видеть, что если для вакуумного состояния теория и эксперимент согласуются почти идеально, то данные для однофотонного состояния лучше всего соотносятся со смешанным состоянием единичного фотона с вероятностью 0,62 и вакуума с вероятностью 0,38. Дело в том, что создать идеальное однофотонное состояние невозможно. Достоверность наблюдаемого нами состояния неизбежно снижается из-за потерь на оптическом пути, неидеальной эффективности регистрации и других причин.

3.8.3. Когерентные состояния

Когерентное состояние является наиболее точным приближением классического гармонического колебательного движения. Мы уже видели, что средние значения координаты и импульса в любом квантовом состоянии (кроме фоковских) ведут себя во времени точно так же, как и у классического шарика на пружинке. Особенность когерентного состояния в том, что в то время, как амплитуда таких колебаний может быть сколь угодно высокой, неопределенности координаты и импульса остаются такими же низкими, как в вакуумном состоянии. Из-за поведения, схожего с классическим, когерентные состояния часто наблюдаются в природе, причем не только в механике, но и в других «воплощениях» гармонического осциллятора, таких как световое поле в лазерном импульсе.

Когерентное состояние (состояние Глаубера) |α⟩ есть собственное состояние оператора уничтожения с собственным значением α:

â|α⟩ = α|α⟩. (3.116)

Поскольку â — не эрмитов оператор, его собственное значение α может быть комплексным. Абсолютная величина |α| этого оператора называется амплитудой, а комплексный аргумент Arg α — когерентной фазой нашего когерентного состояния.

Мы начнем изучение когерентного состояния с его волновой функции. Она может быть определена путем решения (3.116) как дифференциального уравнения в координатном базисе, аналогично упр. 3.64. Во избежание этих довольно утомительных расчетов в следующем упражнении я просто сразу выпишу ответ и попрошу вас его проверить. Альтернативный способ расчета волновой функции когерентного состояния мы разберем в разд. 3.10.

Упражнение 3.69. Для когерентного состояния |α⟩ покажите, что его волновые функции в координатном и импульсном базисах задаются так:

Убедитесь, что эти волновые функции нормированы. Покажите, что математические ожидания и дисперсии координаты и импульса в когерентном состоянии |α⟩ равны

⟨X⟩ = X_α, ⟨P⟩ = P_α (3.119)

и ⟨ΔX²⟩ = ⟨ΔP²⟩ = 1/2, (3.120)

соответственно.

Волновая функция когерентного состояния представляет собой гауссов волновой пакет. Для α = 0 когерентное состояние становится вакуумным, что очевидно из сравнения уравнений (3.105) и (3.116) (рис. 3.10a). Для действительного α форма волновой функции идентична ее форме для вакуумного состояния, сдвинутой на вдоль оси x (рис. 3.10b). Для комплексного α этот гауссов волновой пакет — из-за ненулевого среднего значения импульса — умножается на линейно изменяющийся фазовый множитель (рис. 3.10c), аналогично упр. 3.25.

Мы видим, что для любого комплексного α существует когерентное состояние и что каждое такое состояние нормируется согласно ⟨α|α⟩ = 1. Может показаться, что это противоречит нашим недавним рассуждениям о необходимости нормировать собственные состояния непрерывных квантовых наблюдаемых через дельта-функцию Дирака, как в уравнениях (3.1). Причина, по которой это правило не применимо к когерентными состояниям, состоит в том, что оператор уничтожения — не эрмитово наблюдаемое. По этой же причине когерентные состояния, связанные с различными значениями α, не ортогональны (см. упр. 3.75).

В соответствии с уравнением (3.120) любое когерентное состояние имеет аналогично вакуумному минимально возможную неопределенность координаты — импульса (3.95).

В фазовом пространстве когерентное состояние можно изобразить в виде окружности с центром в точке (рис. 3.11). Радиус этой окружности, символически представляет стандартные отклонения координаты и импульса, которые не зависят от когерентной амплитуды[86].

Глобальные фазовые множители включены в уравнения (3.117a) и (3.117b) по соглашению. Эти множители делают эти два уравнения (которые получаются друг из друга путем прямого или обратного преобразования Фурье) визуально похожими. Кроме того, такое соглашение необходимо для совместимости с другим фазовым соглашением, которое мы введем ниже для разложения когерентного состояния в базисе Фока.

Подчеркну роль фазы Arg α когерентного состояния. Эта фаза представляет собой угол радиус-вектора, указывающего на (⟨X⟩,⟨P⟩), как изображено на рис. 3.11, и, таким образом, непосредственно связана с измеримыми параметрами данного состояния. Этим она отличается от глобального квантового фазового множителя, который, как мы уже несколько раз говорили, не влияет на физические свойства состояния.

Теперь найдем шрёдингерову эволюцию когерентного состояния во времени. С этой целью мы сначала разложим его в энергетическом собственном базисе.