Отличная квантовая механика

Как альтернативный вариант мы можем выбрать в качестве гильбертовых пространств два диагональных типа поляризации; в этом случае диагонально поляризованный фотон представляет собой разделимое состояние, тогда как горизонтально поляризованный — запутанное.

Таким образом, аппарат первичного квантования более компактен и удобен, когда a priori знаем, что имеем дело ровно с одной частицей. В случае множества идентичных частиц первичное квантование порождает сложности. Предположим, например, что у нас имеются два фотона с ортогональными поляризациями. В рамках вторичного квантования в нашем распоряжении один-единственный способ записать это состояние: |1⟩_H ⊗ |1⟩_V. Если же мы пользуемся первичным квантованием, мы можем записать это состояние — один и тот же физический объект — двумя возможными способами: |H⟩ ⊗ |V⟩ или |V⟩ ⊗ |H⟩, или в виде любой линейной их комбинации. Чтобы исключить такую неоднозначность, нужно вводить дополнительные правила, например, о том, какой вектор состояния может считаться физическим в зависимости от того, является ли частица фермионом или бозоном.

Подводя итог, скажем, что, хотя оба подхода имеют право на существование и могут использоваться для работы с физическими явлениями, один из них может оказаться более практичным в зависимости от задачи, которую мы пытаемся решить.

Полезно сравнить волновые функции фоковских состояний с волновыми функциями энергетических собственных состояний конечной потенциальной ямы (см. рис. 3.2). В обоих случаях они проявляют осциллирующее поведение внутри ямы и экспоненциально убывают вне ее. Число пересечений оси абсцисс равно номеру энергетического уровня. Разница в том, что энергетические уровни эквидистантны для гармонического осциллятора, но не для прямоугольной ямы. Далее, каждая собственная волновая функция ямы определяется кусочно [см. (3.66) и (3.67)], тогда как для потенциала гармонического осциллятора она представляет собой единую элементарную функцию.

Упражнение 3.66. Вычислите матрицы операторов координаты и импульса в фоковском базисе.

Подсказка: вместо того чтобы интегрировать волновые функции, удобнее воспользоваться уравнениями (3.100) и (3.104).

Упражнение 3.67. Для произвольного |n⟩ вычислите ⟨X⟩, ⟨ΔX²⟩, ⟨P⟩, ⟨ΔP²⟩ и проверьте принцип неопределенности.

Ответ:

Мы видим, что произведение неопределенностей координаты и импульса увеличивается с ростом энергии. Вакуумное состояние — единственное фоковское состояние, для которого это произведение достигает минимума (3.95).

Упражнение 3.68. Рассмотрим шрёдингерову эволюцию |ψ(t)⟩ произвольного состояния под действием гамильтониана гармонического осциллятора. Выведите следующее поведение средних значений оператора в зависимости от времени:

Сами фоковские состояния стационарны, так что средние значения координаты и импульса у них не меняются во времени. В этом смысле они чрезвычайно неклассичны и не стыкуются с привычным нам представлением о том, что шарик на пружинке должен колебаться (если не находится в покое, т. е. в состоянии с минимальной энергией). А во всех других состояниях средние значения координаты и импульса действительно меняются. Примечательно, что в любом квантовом состоянии они эволюционируют точно так же, как координата и импульс классического гармонического осциллятора [см. (3.86)]. Мы обобщим это наблюдение в разд. 3.9.

Отступление 3.12. Измерение координаты гармонического осциллятора: эксперимент

В то время, когда ведется работа над этой рукописью, физикам еще не удается приготовлять и измерять произвольные квантовые состояния механических гармонических осцилляторов. Они гораздо лучше справляются с их оптической реализацией. В частности, исследователи могут приготовить некоторые из низких числовых состояний и их суперпозиций с высокой степенью достоверности.

В оптической реализации гармонического осциллятора координата и импульс соответствуют абсолютным величинам электрического поля в электромагнитной волне в определенных фазах. Фазочувствительные измерения электромагнитного поля выполняются с использованием так называемого оптического гомодинного детектора (optical homodyne detector). Я не буду подробно описывать эту технологию, но ее можно найти во многих учебниках по квантовой оптике.

На представленном здесь рисунке показаны экспериментальные данные множественных измерений координаты в вакуумном состоянии (вверху) и одноквантовом состоянии (внизу) оптической волны. Вакуумное состояние получается простым блокированием света; объявленный единичный фотон приготовляется с использованием параметрического рассеяния (отступление 1.6). Теоретически можно было бы ожидать, что гистограммы (справа) необработанных экспериментальных данных (слева) должны соответствовать плотностям вероятности pr_0,1 = |ψ_0,1 (X) |², где волновые функции ψ_0,1 (X) задаются уравнениями (3.107a) и (3.108) соответственно.